Warning: include(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include_once(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82

Warning: include_once(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82
Анализ функций на непрерывность | Учебники

Главная > Maple 15 > Анализ функций на непрерывность


Анализ функций на непрерывность

Анализ функций на непрерывность
Для исследования функций на непрерывность Maple 15 имеет функцию iscont, записываемую в ряде форм:
iscont(expr. х — а .. Ь)
iscont(expr. х = а .. b, ‘closed’)
iscont(expr. х — а .. b, ‘open’)
Она позволяет исследовать выражение ехрr, заданное в виде зависимости от переменной х, на непрерывность. Если выражение непрерывно, возвращается логическое значение true, иначе — false. Возможен также результат типа FAIL. Параметр ‘closed1 показывает, что конечные точки должны также проверяться, а указанный по умолчанию параметр ‘open’ — что они не должны проверяться.
Работу функции iscont иллюстрируют следующие примеры: 
> iscont(l/x^2,x=-l..l);
false
> iscont(l/x^2.x=-l..l,’closed’);
false
> iscont(l/x,x-0..1);
true > iscont(l/x,x=0..1.’closed’); ,
false ,—v > iscont(l/(x+a).x=-l..l);
FAIL
Рекомендуется внимательно присмотреться к результатам этих примеров и опробовать свои собственные примеры.
Определение точек нарушения непрерывности
Функции, не имеющие непрерывности, доставляют много хлопот. Поэтому важным представляется анализ функций на непрерывность. В Maple 15 функция discont(f,х) позволяет определить точки, в которых нарушается непрерывность функции f(x). Она вычисляет все точки в пределах изменениях от -? до +?. Результаты вычислений могут содержать особые экстра переменные с именами вида _Zn- и _NNn-. В частности, они позволяют оценить периодические нарушения непрерывности функций.
Примеры применения функции discont приведены ниже:
> discont(l/(x-2).x);
{2}
 > discont(l/((x-l)*(x-2)*(x-3)).x):
{1,2,3} 
> discont(GAMMA(x/2),x):
{-2_NN1~}
Весьма рекомендуется наряду с применением данной функции просмотреть график анализируемой функции.
ПРИМЕЧАНИЕ 
 В ряде примеров в выводе используются специальные переменные вида _NameN~, где Name — имя переменной иN— ее текущий номер. После выполнения команды restart отсчет N начинается с 1. Если вывод с такими переменными уже применялся, то их текущие номера могут казаться произвольными. Специальные переменные часто используются для упрощения выводимых выражений.

Нахождение сингулярных точек функции
Многие операции, такие как интегрирование и дифференцирование, чувствительны к особенностям функций, в частности к их разрывам и особым точкам. Функция singular (ехрr, vars) позволяет найти особые (сингулярные) точки выражения ехрг, в которых она испытывает разрывы. Дополнительно в числе параметров может указываться необязательный список переменных.
Примеры применения этой функции приведены ниже:

Вычисление асимптотических и иных разложений
Важным достоинством системы Maple является наличие в ней ряда функций, позволяющих выполнять детальный анализ функций. К такому анализу относится вычисление асимптотических разложений функций, которые представляются в виде рядов (не обязательно с целыми показателями степени). Для этого используется следующая функция:
asympt(f.x)     asympt(f,x,n).
Здесь f — функция переменной х или алгебраическое выражение; х — имя переменной, по которой производится разложение; n — положительное целое число (порядок разложения, по умолчанию равный 6). Ниже представлены примеры применения этой функции:
 

Пример анализа сложной функции
Ниже мы рассмотрим типичный анализ достаточно «сложной» функции, имеющей в интересующем нас интервале изменения аргумента х от -4 до 4, нули, максимумы и минимумы. Определение функции f(x), ее графики и график производной dF(x)/dx даны. Этот рисунок является началом полного документа, описываемого далее, i
Функция F(x) на первый взгляд имеет не совсем обычное поведение вблизи начала координат (точки с х =у = 0). Для выяснения такого поведения разумно построить график функции при малых х и у. Он также представлен (нижний график) и наглядно показывает, что экстремум вблизи точки (0, 0) является обычным минимумом, немного смещенным вниз и влево от начала координат. Теперь перейдем к анализу функции F(x). Для поиска нулей функции (точек пересечения оси х) удобно использовать функцию f sol ve, поскольку она позволяет задавать область изменениях, внутри которой находится корень. Как видно из приведенных ниже примеров, анализ корней F(x) не вызвал никаких трудностей, и все корни были уточнены сразу: Поиск нулей функции 
> fsolve(F(x),x,-2…-l):
-1.462069476 > fso1ve(F(x),x,-.01..0.01);
0. 
> fsolve(F(x).x.-.05..0);
-.02566109292 
> fsolve(F(x),x,1..2);
1.710986355 
> fsolve(F(x),x,2.5..3):
2.714104921
Нетрудно заметить, что функция имеет два очень близких (но различных) корня прих, близких к нулю.
Анализ функции на непрерывность, наличие ее нарушений и сингулярных точек реализуется следующим образом:
Анализ функции на непрерывность, наличие ее нарушений и наличие сингулярных точек
 

Этот анализ не выявляет у заданной функции каких-либо особенностей. Однако это не является поводом для благодушия — попытка найти экстремумы F(x) с помощью функции extrema и минимумы с помощью функции minimize завершаются полным крахом:
Неудачный поиск экстремумов и минимумов функции 
>extrema(F(x).{},x, ‘s’);s;
>minimize(F(x),x=-.l…l);
minimize (.05x + xe (-|x|) * sm(2x),x = -.1 .. 1)
>minimize(F(x),x=-2.5..:2);S
minimize (.05x + xe(-|x|) sin(2*),*’=-2.5 ..-2)
Приходится признать, что в данном случае система Maple 15 ведет себя далеко не самым лучшим образом. Чтобы довести анализ F(x) до конца, придется вспомнить, что у функции без особенностей максимумы и минимумы наблюдаются в точках, где производная меняет знак и проходит Через нулевое значение. Таким образом, мы можем найти минимумы и максимумы по критерию равенства производной нулю. В данном случае это приводит к успеху:
Поиск минимумов по критерию равенства нулю производной
 > fso1ve(d1ff(F(x),x)=0,x,-.5…5);
-.01274428224 
>xm:=%;
хт:= -.0003165288799 
>[F(xm),F(xnn-.001),F(xm-.001)]:
[-.00001562612637, .00003510718293, -.00006236451216]
>fsolve(diff(F(x),x)-0.x,-2.5..-2);
-2.271212360 ‘ 
>fso1ve(diff(F(x),x)=0,x.2..2.5):
2.175344371 
Неудачный поиск максимума 
>maximize(F(x) ,x—l.. — .5);
maximize(.05х + хе (-|x|) * sin(2x),x = -l .. -.5) 
Поиск максимумов по критерию равенства нулю производной 
>fso1ve(diff(F(x).x),x,-l..-.5);
-.8094838517
 >fso1ve(diff(F(x),x),x..5..2):
.8602002115 
>fsolve(diff(F(x),x),x.-4..-3);
-3.629879137
>fsolve(diff(F(x),x).x,3..4); 
3.899664536

Итак, все основные особые точки данной функции (нули, минимумы и максимумы) найдены, хотя и не без трудностей и не всегда с применением специально предназначенных для такого поиска функций. В уроке 12 будет описана процедура, которая автоматизирует процесс анализа не очень сложных функций и обеспечивает его наглядную визуализацию.

Статьи по теме

Комментарии запрещены.