Главная > Mathematica 8 > Диалог с системой и ее входной язык


Диалог с системой и ее входной язык

Диалог с системой и ее входной язык
Интересно отметить, что, родившись как программа для профессионалов, Mathematica в последние годы упорно позиционируется фирмой Wolfram как система, перспективная не только для высшего, но и для школьного образования. Диалог с системой идет по методу «задал вопрос — получил ответ». Не считая отдельных мелочей, такой диалог вполне понятен не только опытному математику, но и успевающему студенту и даже школьнику.
Впрочем, уже из приведенных простейших примеров видны определенные тонкости записи входных выражений, которые определяются совокупностью правил их ввода, то есть синтаксисом входного языка системы, или (более строго) языка программирования системы. Он будет рассмотрен по мере описания возможностей систем класса Mathematica. Обширные возможности этих систем в решении математических задач придают им функции не только суперкалькуляторов, но и мощных электронных справочников по математике и математическим расчетам.
Даже интуитивно ясно, что осуществление символьных операций — процесс намного более тонкий и сложный, чем реализация даже сложных численных расчетов. В какой-то степени он противен сущности вычислений, реализуемых в современных ЭВМ, — как известно, они работают с «голыми» цифрами и являются «числодробилками». Эти операции сложнее и обычных (довольно примитивных) строковых операций, используемых при обработке текстов. К тому же известно, что одни только таблицы производных, интегралов и формул преобразований занимают многие тома объемных книг. Поэтому высокая эффективность символьных операций реальна только при их реализации на современных высокопроизводительных ПК. Не случайно системы символьной математики получили серьезное развитие лишь в последний десяток лет.
Все сказанное ведет к необходимости символьного представления чисел и использования особых алгоритмов для выполнения операций с ними. Естественно, что реализация символьных операций вначале обеспечивалась за счет снижения эффективности численных расчетов. Тем более приятно, что в новейшей системе Mathematica 8 эта порочная тенденция была решительно остановлена — данная версия системы имеет не только превосходные возможности в части символьных вычислений, но и повышенную эффективность и скорость численных расчетов. Это выдвигает систему Mathematica 8 в число лучших универсальных систем компьютерной математики.
Операции с целыми числами
Продолжим знакомство с возможностями системы Mathematica 8 примерами работы с целыми числами. Несколько таких примеров приведено.
Первая из приведенных операций дает разложение целого числа на простые множители с помощью функции Factorlnteger. Они представлены списками (в фигурных скобках) из двух чисел. Первое число — это множитель, а второе — число его повторений. В считанные секунды Mathematica 8 находит десятибиллионное простое число с помощью функции Prime. Другой характерный пример целочисленных операций — вычисление факториалов (вы можете запросто получить факториал 10 000, но ради сокращения места при описании примера в нем вычислено значение 200! Последний пример показывает отсутствие ошибок при работе с большими целыми числами — и это несмотря на то, что при его выполнении и впрямь дважды вычисляется факториал числа 10 000.
Операции с целыми числами выполняются абсолютно точно. При этом число цифр не ограничено (в разумных пределах).
Арифметика произвольной точности
Арифметика произвольной точности — еще одна из областей применения систем символьной математики.
Здесь использована одна из самых распространенных функций системы Mathematica — N[expr, n], дающая результат вычисления выражения ехр r с точностью до n знаков после десятичной точки. Константы я и е вычислены с 500 верными знаками, а новая функция Матье (MathieuC) — с точностью до 200 знаков. Однако в системе Mathematica n может достигать миллиона и более. Ограничения по разрядности чисел и их верхнему и нижнему пределам практически отсутствуют.
Примеры из математического анализа
Разумеется, роль систем символьной математики далеко не исчерпывается приведенными выше примерами. Эти системы способны преобразовывать сложнейшие алгебраические выражения, находить аналитические решения сложных систем линейных, нелинейных и дифференциальных уравнений, манипулировать со степенными многочленами, вычислять производные и интегралы, анализировать функции, находить их пределы и т. д. Это видно уже из примеров, представленных .
В этих примерах функция D (как приятное исключение из правил, обозначенная одной буквой) вычисляет производную, функция Integrate — интеграл, функция Solve решает нелинейное уравнение (в данном случае квадратное), а функция Series разлагает выражение в ряд относительно заданной переменной и при заданных начальном значении переменной и максимальной степени ряда. В фигурных скобках задаются списки некоторых входных и выходных параметров (аргументов).
Системы символьной математики являются справочниками по многим специальным функциям. При этом они способны давать результаты вычислений в виде специальных функций, что демонстрируют следующие примеры:
Sum[1/k^9,{k,1,n}]
HarmonicNumber [n, 9]
Integrate [Log [x] *Exp [ -х^4 ], {x, 0, Infinity}]
-1/32*Gamma[ 1/4 ] ( 2 EulerGamma + л + Log[64] )
DSolve[y " [t] + y’ [t] + y[t]/t = 0, y[t] , t]
{{y[t]->e^-tC[1]+e^-tC[2]Gamma[-1,-t]}}
Здесь специальные функции получаются в результате вычисления суммы, символьного интегрирования и решения в аналитическом виде дифференциального уравнения. Соответствующие функции будут более подробно описаны в дальнейшем. Обратите внимание на то, что эти примеры даны прямо в тексте книги. Мы будем часто использовать такой прием для представления небольших примеров.
Чем дальше в лес, тем больше дров!
К сожалению, в математике нередко оказывается так, что результирующие выражения быстро нарастают по сложности при, казалось бы, незначительном усложнении или просто изменении условий задачи. Покажем это на примере решения одной из самых часто встречающихся задач — поиска в аналитическом виде корней алгебраического уравнения с целыми степенями членов.
Многие из нас прекрасно помнят формулы для корней квадратного уравнения, которые нам давали еще в школе. Их в точности воспроизвела Mathematica в одном из примеров, приведенных в этом уроке чуть ранее. Это решение еще раз воспроизведено.
Однако едва ли кто вспомнит по памяти формулы аналитического решения кубического уравнения общего вида. Зато система Mathematica играючи справляется с этой задачей с помощью функции Solve, что и показано во втором примере. Полученное выражение впечатляет даже студентов университетов, уже изучивших курс математики в полном объеме. Это блестящий пример эффективного представления справочной информации.
Можно пойти чуть дальше и убедиться в том, что Mathematica решает подобное уравнение даже четвертого порядка. Полученное при этом крайне громоздкое решение (в силу этого оно не приводится) заставит в задумчивости почесать затылок многих любителей математики. Но можно ли продолжать эти вычисления? Увы, классическая математика говорит, что нет! Подобные уравнения порядка выше четвертого современная математика в аналитическом виде не решает. Тем не менее, попытаемся вычислить корни алгебраического уравнения пятой степени в общем виде.
А вот и сюрприз: Mathematica не только не отказалась решать эту задачу (при отказе она просто повторяет вводимое выражение), но даже подсказала путь ее решения с помощью пятикратного применения функции вычисления корней Root степенных многочленов.
В упомянутых примерах мы сталкиваемся с одной из серьезных проблем символьной математики — разбуханием результатов аналитических преобразований при порой незначительном усложнении решаемых задач. В данном случае это никоим образом не является недостатком систем компьютерной математики как таковых — просто так нарастает сложность решения данной математической задачи в соответствии с канонами абстрактной математики.
Однако нередко разбухание результатов кроется в сложности алгоритмов, особенно рекурсивных. Современные системы символьной математики способны осуществлять весьма глубокую рекурсию, и порой трудно даже предположить, к сколь громоздкому результату это в конечном счете приведет.
Научные работники и инженеры настолько привыкли к упрощению (порой весьма грубому, с точки зрения математиков), что громоздкие решения, получаемые с помощью систем символьной математики, способны их раздражать. Это в определенной мере препятствует применению систем символьной математики на практике и в наши дни.
Однако для частных случаев нередко можно получить вполне сносные по виду решения. Вот пример решения неполного алгебраического уравнения десятой степени, при котором Mathematica благополучно возвращает все десять корней довольно простого вида. 

Примеры такого рода можно встретить повсеместно. Есть множество нелинейных алгебраических или дифференциальных уравнений обманчиво простого вида, но имеющих сложнейшие решения или не имеющих их вовсе. Так что если система символьной математики не находит ответ, это зачастую не является признаком ее слабости — может быть, решения не существует вообще? Порой даже такой отрицательный результат избавляет пользователя от трудоемкого поиска несуществующих решений «в лоб» и направляет его на поиск обходных, порою весьма ценных и полезных методов решения.

Статьи по теме

Комментарии запрещены.