Warning: include(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include_once(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82

Warning: include_once(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82
Дифференциальные уравнения с кусочными функциями | Учебники

Главная > Maple 15 > Дифференциальные уравнения с кусочными функциями


Дифференциальные уравнения с кусочными функциями

Дифференциальные уравнения с кусочными функциями
Функции кусочного типа широко используются при математическом моделировании различных физических объектов и систем. В основе такого моделирования обычно лежит решение дифференциальных уравнений, описывающих поведение объектов и систем. Покажем возможность применения кусочных функций для решения дифференциальных уравнений. 
Ниже представлено задание дифференциального уравнения первого порядка, содержащего кусочную функцию:

Используя функцию dsolve, выполним решение этого дифференциального уравнения:

Нетрудно заметить, что результат получен также в форме кусочной функции, полностью определяющей решение на трех интервалах изменениях. Приведем пример решения дифференциального уравнения второго порядка с кусочной функцией:

В конце этого раздела приведем пример решения нелинейного дифференциального уравнения Риккати с кусочной функцией:

В ряде случаев желательна проверка решения дифференциальных уравнений. Ниже показано, как она делается для последнего уравнения:

ПРИМЕЧАНИЕ 
Как видно из приведенных достаточно простых и наглядных примеров, результаты решения дифференциальных уравнений с кусочными функциями могут быть довольно громоздкими. Это, однако, не мешает эффективному применению функций данного класса.

Структура неявного представления дифференциальных уравнений — DESol
В ряде случаев иметь явное представление дифференциальных уравнений нецелесообразно. Для неявного их представления в Maple 15 введена специальная структура:
DESol(expr.vars)
где exprs — выражение для исходной системы дифференциальных уравнений, vars — заданный в виде опции список переменных (или одна переменная). Структура DESol образует некоторый объект, дающий представление о дифференциальных уравнениях, чем-то напоминающее RootOf. С этим объектом можно обращаться, как с функцией, то есть его можно интегрировать, дифференцировать, получать разложение в ряд и вычислять численными методами. показаны примеры применения структуры DESol. Обратите внимание на последний пример — в нем структура- DESol использована для получения решения дифференциального уравнения в виде степенного ряда.

Инструментальный пакет решения дифференциальных уравнений DEtools
Средства пакета DEtools
Решение дифференциальных уравнений самых различных типов — одно из достоинств системы Maple 15. Пакет DEtools предоставляет ряд полезных функций для решения дифференциальных уравнений и систем с такими уравнениями:
> with(DEtools);
Warning, the name adjoint has been redefined
[DEnormal, DEplot, DEplot3d, DEplot_pofygon, DFactor, DFactorLCLM, DFactorsols, Dchangevar, GCRD, LCLM, PDEchangecoords, RiemannPsols, Xchange, Xcommutator, Xgauge, abelsoL, adjoint, autonomous, bernoullisol, buildsol, buildsym, canoni, caseplqt, casesplit, checkrank, chinisol, clairautsol, constcoeffsols, convertAlg, convertsys, dalembertsol, dcoeffs, de2diffop, dfieldplot, diffop2de, dsubs, eigenring, endomorphism_charpoly, equinv, etajc, eulersols, exactsol, expsols, exterior’_power,firint,firtest, formal_sol, gen_exp, generate_ic, genhomosol, gensys, hamilton_eqs, indicialeq, infgen, initialdata, integrate_sols, intfactor, Invariants, kovacicsols, leftdivision, liesol, line_int, linearsol, matrixDE, matrix_riccati, moserjreduce, muchange, mult, mutest, newtonjpolygon, normalG2, odeadvisor, odepde, parametricsol, phaseportrait, poincare, polysols, ratsols, redode, reduceOrder, reduce_order, regular_parts, regularsp, remove_RootOf, riccati_system, riccatisol, rifsimp, rightdivision, rtaylor, separablesol, solvejgroup, super_reduce, symgen, symmetric_pover, symmetric^product, symtest, transinv, translate, untranslate, varparam, zoom]
Этот пакет дает самые изысканные средства для аналитического и численного решения дифференциальных уравнений и систем с ними. По сравнению с версией Maple V R5 число функций данного пакета в Maple 15 возросло в несколько раз. Многие графические функции пакета DEtools были уже описаны. Ниже приводятся полные наименования тех функций, которые есть в реализациях R5, 6 и 7 системы Maple:

  •  DEnormal — возвращает нормализованную форму дифференциальных уравнений;
  •  DEplot — строит графики решения дифференциальных уравнений; 
  •  DEplot3d — строит трехмерные графики для решения систем дифференциальных уравнений;
  •   Dchangevar — изменение переменных в дифференциальных уравнениях;
  •  PDEchangecoords — изменение координатных систем для дифференциальных уравнений в частных производных; 
  •  PDEpTot — построение графиков решения дйффереациальых уравнений в частных производных;
  •  autonomous — тестирует дифференциальные уравнения на автономность;
  •  convertAlg — возвращает список коэффициентов для дифференциальных уравнений;
  •  convertsys — преобразует систему дифференциальных уравнений в систему одиночных уравнений;
  •  dfieldplot — строит график решения дифференциальных уравнений в виде векторного поля;
  •  indicialeq — преобразует дифференциальные уравнения в полиномиальные;
  •  phaseportrait — строит график решения дифференциальных уравнений в форме фазового портрета;
  •  reduceOrder — понижает порядок дифференциальных уравнений;
  •  regularsp — вычисляет регулярные особые точки для дифференциальных уравнений второго порядка;
  •  translate — преобразует дифференциальные уравнения в список операторов;
  •  untranslate — преобразует список операторов в дифференциальные уравнения;
  •  varparam — находит общее решение дифференциальных уравнений методом вариации параметров.

Применение этих функций гарантирует совместимость документов реализаций Maple R5, 6 и 7.

Статьи по теме

Комментарии запрещены.