Дополнительные функции для решения уравнений
04.12.2011
Дополнительные функции для решения уравнений
Имеется также ряд дополнительных функций, которые используются описанными ранее функциями и также могут применяться при решении нелинейных уравнений:
- Auxiliary [v] — применяется модулем Solve для указания того, что переменная v должна использоваться функцией Roots для результирующих решений, но соответствующие значения v не должны быть включены в окончательный ответ;
- Eliminate [eqns, vars] — исключает переменные vars из системы уравнений eqns;
- FindRoot [Ihs == rhs, {x, x0}] — ищет численное решение уравнения Ihs == rhs, начиная с х = x0;
- MainSolve [eqns] — основная функция для преобразования системы уравнений. Ее вызывают Solve и Eliminate. Уравнения должны быть представлены в форме Ihs == rhs. Они могут объединяться с помощью && и | |. MainSolve возвращает False, если не существует решения уравнений, и возвращает True, если все значения переменных являются решениями. MainSolve перестраивает уравнения, применяя определенные директивы;
- MainSolve [eqns, vars, elim, rest] — пытается перестраивать уравнения eqns так, чтобы найти решения для переменных vars и исключить переменные elim. Список rest может включаться для указания порядка исключения любых остальных переменных;
- NRoots [lhs==rhs, var] — возвращает список численных приближений корней полиномиального уравнения;
- Residue [ехрr, {х, х0 } ] — ищет вычет ехрг в точке х = х0;
- SolveAlways [eqns, vars] — возвращает значения параметров, которые превращают уравнения eqns в тождества для всех значений переменных vars.
Примеры использования некоторых из этих функций показаны на рис. 4.19.
В целом надо отметить, что система Mathematica обладает обширными средствами для решения уравнений и их систем. Умение их применять — залог правильного и эффективного решения сложных математических задач, относящихся к классу решения уравнений.
Графическая иллюстрация и выбор метода решения уравнений
При рассмотрении приведенных выше примеров может сложиться благодушное впечатление о том, что решение нелинейных уравнений может производиться автоматически и без размышлений. Но это далеко не так — представленные выше примеры просто подобраны так, что они имеют решение с помощью соответствующих функций.
На самом деле порой даже простые уравнения могут не иметь решения. В сложных случаях очень полезна графическая визуализация решения. В качестве примера на показана визуализация вычисления корней квадратного уравнения. В данном случае график функции явно указывает на существование двух действительных корней при х, близких к 0.2 и 2.3. Функция Nsolve без труда находит оба корня.
А вот на показан случай, когда из-за изменения последнего члена квадратичной функции ее график уже не пересекает ось х вообще. Это говорит о том, что решения в виде действительных корней нет. И в самом деле, NSolve находит корни как комплексно-сопряженные числа. Действительная часть найденных корней дает координату х для впадины кривой — параболы.
Если требуется решение равенства f1(х) = f 2 (x), то для графической визуализации решения можно построить графики функций f1(х) и f 2 (лг) — наличие точек их пересечения будет означать существование действительных корней. Этот случай иллюстрирует. В данном случае проблем с решением нет, поскольку, по существу, решается квадратное уравнение.
Но вот на показан случай решения уравнения f(x) = ехр(х/2). Графики функций ясно показывают, что парабола пересекается экспонентой в двух точках. Однако функция NSolve отказывается решать такое уравнение и выдает сообщение о том, что оно является трансцендентным.
Таким образом, в данном случае наличие графического решения говорит о необходимости смены функции, с помощью которой до сих пор решались уравнения. Подходящей в данном случае является функция FindRoot, которая отыскивает одно решение вблизи заданной начальной точки. Применив ее дважды, нетрудно получить оба корня данного уравнения.
Статьи по теме
Рубрика: Mathematica 8 | 
Метки: качестве, параметры, правил, представлен, реализации, ряде, существует, уравнение, число