Warning: include(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include_once(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82

Warning: include_once(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82
Двойные суммы | Учебники

Главная > Maple 15 > Двойные суммы


Двойные суммы

Двойные суммы
Могут встречаться множественные суммы по типу «сумма в сумме». Ограничимся приведением примера двойной суммы, имеющей аналитическое значение:

При конкретном значении N такую сумму нетрудно вычислить подстановкой: 
> subs( N = 100, %); 
  8670850
Как видно из приведенных примеров, средства вычисления сумм последовательностей Maple 15 позволяют  получать как численные, так и аналитические значения сумм, в том числе представляемые специальными математическими функциями.

Вычисление произведений членов последовательностей
Основные формулы для произведения членов последовательностей
Аналогичным образом для произведений членов f(i) некоторой последовательности, например вида:

используются следующие функции:
product(f,k);    product(f,k=m..n):    product (f,k=alpha):
Product(f,k);    Product(f,k=m..n):    Product(f,k=alpha).
Обозначения параметров этих функций и их назначение соответствуют приведенным для функций вычисления сумм. Это относится, в частности, и к применению одиночных кавычек для f и k.

Примеры вычисления произведений членов последовательностей
Примеры применения функций вычисления произведений даны ниже:

Как и в случае вычисления сумм, вычисление произведений возможно как в численной, так и в аналитической форме — разумеется, если таковая существует. Это показывает следующий пример:

Нетрудно понять, что при i, стремящемся к бесконечности, перемножаемые члены последовательности стремятся к нулю, а потому к нулю стремится и их произведение. Вопросы доказательства подобных утверждений находятся за рамками данного учебного курса, ибо он посвящен не математике как таковой, а конкретной программе для математики — Maple 15.
От перемены места сомножителей произведение меняется!
Хотя произведение не зависит от порядка расположения сомножителей, их перестановка в Maple 15 недопустима. Это иллюстрируют следующие примеры:

 ВНИМАНИЕ 
При вычислении произведений надо строго соблюдать прямой (нарастающий) поря-— док задания значений индексной переменной произведения. Нарушение этого порядка чревато грубыми ошибками.
Вычисление производных
Функции дифференцирования выражений diff и Diff
Вычисление производных функций fn(x) = dfn(x)/dxn n-го порядка — одна из самых распространенных задач математического анализа. Для ее реализации Maple 15 имеет следующие основные функции:
diff(a., xl, х2, …. xn)     diff(a, [xl, х2, …. хn]) 
Diff(a, xl, x2, …. xn)     Diff(a, [xl, x2, …. хn])
Здесь а — дифференцируемое алгебраическое выражение, властности функция f(xl. x2, …. хn) ряда переменных, по которым производится дифференцирование. Функция Diff является инертной формой вычисляемой функции diff и может использоваться для естественного воспроизведения производных в документах. Первая из этих функций (в вычисляемой и в инертной форме) вычисляет частные производные для выражения а по переменным xl, х2, …, .хn. В простейшем случае diff(f(x),x) вычисляет первую производную функции f(x) по переменной х. При n, большем 1, вычисления производных выполняются рекурсивно, например diff (f (х), х, у) эквивалентно diff(diff (f(x), х), у). Оператор $ можно использовать для вычисления производных высокого порядка. Для этого после имени соответствующей переменной ставится этот оператор и указывается порядок производной. Например, выражение diff (f(x) ,x$4) вычисляет производную 4-го порядка и эквивалентно записи diff (f (х) ,х,х,х.х). A diff (g(x,y) ,x$2,y$3) эквивалентно diff(g(x,y),x,x.y,y,y) ;
Примеры вычисления производных:

Как видно из приведенных примеров, функции вычисления производных могут использоваться с параметрами, заданными списками. Приведенные ниже примеры показывают эти возможности и иллюстрируют дифференцирование функции пользователя для двух переменных:
 

Получаемые в результате дифференцирования выражения могут входить в другие выражения. Можно задавать их как функции пользователя и строить графики производных.
Дифференциальный оператор D
Для создания функций с производными может также использоваться дифференциальный оператор D. Порою он позволяет создавать более компактные выражения, чем функции diff и Diff. Дифференциальный оператор можно записывать в следующих формах: D(f) или D[i](f), где параметр f — выражение или имя функции, i — положительное целое число, выражение или последовательность. Оператор D(f) просто вычисляет имя производной от f, поскольку в этой форме он эквивалентен unnaplyCdiff (f (х) ,х) ,х). В форме D(f) (х) этот оператор подобен diff (f (x) ,x).
Приведем примеры дифференцирования функций, заданных только именами, и функций с одним параметром:

Следующий пример показывает дифференцирование функции пользователя fun с применением дифференциального оператора D и функции diff:

Дифференциальный оператор можно применять и для дифференцирования функций нескольких переменных по заданной переменной:
 
Пример применения дифференциального оператора для функции f, заданной программным объектом-процедурой, представлен ниже:

Этот пример показывает реализацию схемы Горнера для полинома b степени n от переменной х. При этом применение оператора дифференцирования возвращает процедуру. Ряд интересных возможностей по вычислению производных предоставляет пакет расширения student.

Статьи по теме

Комментарии запрещены.