Главная > Mathematica 8 > Функции Эйри


Функции Эйри

Функции Эйри
 
Функции Эйри представляют собой независимые решения линейного дифференциального уравнения w"- zw = 0. В Mathematica эти функции представлены следующим набором:

  • AiryAi [z] — возвращает значение функции Эйри Ai(z);
  • AiryAiPrime [ z ] — возвращает значение производной функции Эйри Ai ‘(z);
  • AiryBi [z] — возвращает значение функции Эйри Bi(z);
  • AiryBiPrime [z] — возвращает производную функции Эйри Bi'(z).

Ниже представлены примеры на вычисление функций Эйри.

Ввод (In)

Вывод (Out)

AiryAi [2. +3.*I]

0.00810446 + 0.131178 I

AiryAi[l.]

0.135292

AiryBi [2. +3.*I]

-0.396368 — 0.569731 I

AiryBiPrime [2 . +3 . *I]

0.349458 — 1.10533 I

С функциями Эйри связаны многие специальные математические функции. Эта связь проявляется и при выполнении различных математических операций над функциями Эйри:
D[AiryAi[x],х]
AiryAiPrime[x]
Integrate[AiryBi[x],x]
{xGamma[1/3 ] HypergeometricPFQ[{1/3 }, {2/3,4/3}, x3/9]} /{3 31/6 Gamma [ 2/3 ] Gamma [ 5/3 ]}
{ x2Gamma[1/3 ] HypergeometricPFQ[{1/3 }, {2/3,4/3}, x3/9]} /{3 35/6 Gamma [ 4/3 ] Gamma [ 5/3 ]}
Series[AiryBi[x],{x,0,5}]
{1 /31/6xGamma[2/3]}+ {31/6x /Gamma[1/3]}+ {x3 /631/6Gamma[2/3]}+{x4 /435/6Gamma[1/3]}+O[x]6
Графики функций, Эйри представлены на.
Нетрудно заметить, что при х < 0 они имеют колебательный характер.
 
Бета-функция и родственные ей функции
Класс бета-функций, имеющих специальное интегральное представление, в Mathematica представлен следующим набором:

  • Beta [а, b] — эйлерова бета-функция В(a, b);
  • Beta[z, а, b] — неполная бета-функция;
  • Beta[z0, zl, a, b] — обобщенная неполная бета-функция Beta [z1, a, b] — Beta[z0, а, b];
  • BetaRegularized [z, a> b] — регуляризированная неполная бета-функция I(z,a,b) = Betafz, a, b]/Beta[a, b];
  • BetaRegularized [z0, zl, a, b]—регуляризированная обобщенная неполная бета-функция I(z1l,a,b) — I(z0, a, b).

Поимепы на вычисление этих функций представлены ниже.

Ввод (In)

Вывод (Out)

Beta[l.,2.]

0.5

Beta[l.,2.,3.]

0.0833333

Beta[2.+3.*I,4.+6.*I,l,2]

4. — 12. I

BetaRegulari zed [0.1,1,2]

0.19

 
Специальные числа и полиномы
Для вычисления специальных чисел и полиномов служит следующая группа функций:

  • BernoulliB [n] — n-е число Бернулли;
  • BernoulliB [n, х] — полином Бернулли n-й степени;
  • Binomial [n, m] — биномиальный коэффициент;
  • Cyclotomic [n, х] — циклотомический полином порядка п по переменной х;
  • EulerE[n] — n-е число Эйлера;
  • EulerE[n, х] — n-й полином Эйлера;
  • EulerPhi [n] — эйлерова функция сумм ф(n) — количество положительных целых чисел, не превосходящих п и взаимно простых с и;
  • Fibonacci [n] — n-е число Фибоначчи;
  • Fibonacci [n, х] — полином Фибоначчи F n (x);
  • Multinomial [n1, n2, . . . ] — мультиномиальный коэффициент (n! + n2 + . . .) !/(n1! n2! …);
  • NBernoulliB [n] — численное значение n-го числа Бернулли;
  • NBernoulliB [n, d] — n-е число Бернулли с n?-цифровой точностью представления;
  • Pochhammer [а, n] — символ Похгамера;
  • StirlingSl [n, m] — число Стирлинга первого рода;
  • StirlingS2 [n, m] — число Стирлинга второго рода.

Ниже представлены примеры вычисления данных функций.

Ввод (In)

Вывод (Out)

N [BernoulliB [2]]

0.166667

BernoulliB [2, 0.1]

0.0766667

Binomial [6, 4]

15

Cyclotomic [ 5, х]

1 + x + x 2 + x 3 + x 4

Cyclotomic [5,0.2]

1.2496

EulerE[2]

-1

EulerE[2,0.1]

-0.09

EulerPhi [2]

1

Fibonacci [10]

55

Fibonacci [ 6 , x]

3 x + 4 x 3 + x 5

Pochhammer [1,3]

6

StirlingSl [8, 4]

6769

На показаны графики полиномов Бернулли и циклотомического полинома различных порядков.
Обратите внимание на то, что здесь использована функция Plot, модифицированная пакетом расширения plot.m, который будет описан в уроке 10. Эта функция позволяет автоматически строить графики ряда функций с линиями разного стиля, что облегчает их распознавание.
На представлены графики полиномов Эйлера EulerE разного порядка п.
Помимо описанных выше, в ядро системы входит также ряд других, менее распространенных функций. Они описаны в приложении.

По числу встроенных специальных математических функций Mathemafica заметно превосходит другие системы компьютерной математики. При этом все такие функции могут участвовать в символьных преобразованиях. Это делает системы Mathematica предпочтительными при решении задач, в которых часто встречаются специальные математические функции. В то же время надо отметить, что многие специальные функции системами Mathemafica вычисляются только для целого порядка.

Статьи по теме

Комментарии запрещены.