Функции Эйри
28.12.2011
Функции Эйри
Функции Эйри представляют собой независимые решения линейного дифференциального уравнения w"- zw = 0. В Mathematica эти функции представлены следующим набором:
- AiryAi [z] — возвращает значение функции Эйри Ai(z);
- AiryAiPrime [ z ] — возвращает значение производной функции Эйри Ai ‘(z);
- AiryBi [z] — возвращает значение функции Эйри Bi(z);
- AiryBiPrime [z] — возвращает производную функции Эйри Bi'(z).
Ниже представлены примеры на вычисление функций Эйри.
| Ввод (In) |
Вывод (Out) |
|
AiryAi [2. +3.*I] |
0.00810446 + 0.131178 I |
|
AiryAi[l.] |
0.135292 |
|
AiryBi [2. +3.*I] |
-0.396368 — 0.569731 I |
|
AiryBiPrime [2 . +3 . *I] |
0.349458 — 1.10533 I |
С функциями Эйри связаны многие специальные математические функции. Эта связь проявляется и при выполнении различных математических операций над функциями Эйри:
D[AiryAi[x],х]
AiryAiPrime[x]
Integrate[AiryBi[x],x]
{xGamma[1/3 ] HypergeometricPFQ[{1/3 }, {2/3,4/3}, x3/9]} /{3 31/6 Gamma [ 2/3 ] Gamma [ 5/3 ]}
{ x2Gamma[1/3 ] HypergeometricPFQ[{1/3 }, {2/3,4/3}, x3/9]} /{3 35/6 Gamma [ 4/3 ] Gamma [ 5/3 ]}
Series[AiryBi[x],{x,0,5}]
{1 /31/6xGamma[2/3]}+ {31/6x /Gamma[1/3]}+ {x3 /631/6Gamma[2/3]}+{x4 /435/6Gamma[1/3]}+O[x]6
Графики функций, Эйри представлены на.
Нетрудно заметить, что при х < 0 они имеют колебательный характер.
Бета-функция и родственные ей функции
Класс бета-функций, имеющих специальное интегральное представление, в Mathematica представлен следующим набором:
- Beta [а, b] — эйлерова бета-функция В(a, b);
- Beta[z, а, b] — неполная бета-функция;
- Beta[z0, zl, a, b] — обобщенная неполная бета-функция Beta [z1, a, b] — Beta[z0, а, b];
- BetaRegularized [z, a> b] — регуляризированная неполная бета-функция I(z,a,b) = Betafz, a, b]/Beta[a, b];
- BetaRegularized [z0, zl, a, b]—регуляризированная обобщенная неполная бета-функция I(z1l,a,b) — I(z0, a, b).
Поимепы на вычисление этих функций представлены ниже.
| Ввод (In) |
Вывод (Out) |
|
Beta[l.,2.] |
0.5 |
|
Beta[l.,2.,3.] |
0.0833333 |
|
Beta[2.+3.*I,4.+6.*I,l,2] |
4. — 12. I |
|
BetaRegulari zed [0.1,1,2] |
0.19 |
Специальные числа и полиномы
Для вычисления специальных чисел и полиномов служит следующая группа функций:
- BernoulliB [n] — n-е число Бернулли;
- BernoulliB [n, х] — полином Бернулли n-й степени;
- Binomial [n, m] — биномиальный коэффициент;
- Cyclotomic [n, х] — циклотомический полином порядка п по переменной х;
- EulerE[n] — n-е число Эйлера;
- EulerE[n, х] — n-й полином Эйлера;
- EulerPhi [n] — эйлерова функция сумм ф(n) — количество положительных целых чисел, не превосходящих п и взаимно простых с и;
- Fibonacci [n] — n-е число Фибоначчи;
- Fibonacci [n, х] — полином Фибоначчи F n (x);
- Multinomial [n1, n2, . . . ] — мультиномиальный коэффициент (n! + n2 + . . .) !/(n1! n2! …);
- NBernoulliB [n] — численное значение n-го числа Бернулли;
- NBernoulliB [n, d] — n-е число Бернулли с n?-цифровой точностью представления;
- Pochhammer [а, n] — символ Похгамера;
- StirlingSl [n, m] — число Стирлинга первого рода;
- StirlingS2 [n, m] — число Стирлинга второго рода.
Ниже представлены примеры вычисления данных функций.
| Ввод (In) |
Вывод (Out) |
|
N [BernoulliB [2]] |
0.166667 |
|
BernoulliB [2, 0.1] |
0.0766667 |
|
Binomial [6, 4] |
15 |
|
Cyclotomic [ 5, х] |
1 + x + x 2 + x 3 + x 4 |
|
Cyclotomic [5,0.2] |
1.2496 |
|
EulerE[2] |
-1 |
|
EulerE[2,0.1] |
-0.09 |
|
EulerPhi [2] |
1 |
|
Fibonacci [10] |
55 |
|
Fibonacci [ 6 , x] |
3 x + 4 x 3 + x 5 |
|
Pochhammer [1,3] |
6 |
|
StirlingSl [8, 4] |
6769 |
На показаны графики полиномов Бернулли и циклотомического полинома различных порядков.
Обратите внимание на то, что здесь использована функция Plot, модифицированная пакетом расширения plot.m, который будет описан в уроке 10. Эта функция позволяет автоматически строить графики ряда функций с линиями разного стиля, что облегчает их распознавание.
На представлены графики полиномов Эйлера EulerE разного порядка п.
Помимо описанных выше, в ядро системы входит также ряд других, менее распространенных функций. Они описаны в приложении.
Статьи по теме
Рубрика: Mathematica 8 | 
Метки: имена, используют, описанных, представленных, примеру, решения, символьного