Warning: include(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include_once(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82

Warning: include_once(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82
Функции векторного анализа | Учебники

Главная > Mathematica 8 > Функции векторного анализа


Функции векторного анализа

Функции векторного анализа
Помимо функций для задания и преобразования систем координат подпакет Vector An a lysis содержит ряд функций собственно векторного анализа:

  • DotProduct [vl, v2] — возвращает скалярное произведение векторов vl и v2, заданных в текущей системе координат;
  • CrossProduct [vl,v2] — возвращает векторное произведение векторов vl и v2, заданных в текущей системе координат;
  • ScalarTripleProduct [vl, v2, v3 ] — возвращает тройное скалярное произведение для векторов vl, v2 и v3, заданных в текущей системе координат;
  • DotProduct [vl, vl, coordsys ] — возвращает скалярное произведение векторов vl и v2, заданных в системе координат coordsys;
  • CrossProduct [vl, v2, coordsys] — возвращает векторное произведение векторов vl и v2, заданных в системе координат coordsys.

Примеры выполнения этих операций представлены ниже:
SetCoordinates[ParabolicCylindrical[ ]]
ParabolicCylindrical[Uu, W, Zz]
DotProduct[{1.2, 1.1, 0}, {5.4, -2, 1.2}]
-12.8093
CrossProduct[{1.2, 1.1, 0}, {5.4, -2, 1.2}]
{-1.78157, 0.0774597, -17.8476}
ScalarTripleProduct[{1, 0, 1}, {1, 1, 0}, {0, 1, 1}, Cartesian]
2
Для вычисления производной дуги служат функции:

  • ArcLengthFactor [ { fx, f у, f z}, t] — дает дифференциал длины дуги, заданной параметрически с параметром t в текущей системе координат;
  • ArcLengthFactor [ {fx, f у, fz}, t, coordsys] — дает дифференциал длины дуги, заданной параметрически с параметром t в системе координат coordsys

Примеры вычисления дифференциалов и длин дуг с помощью этих функций:
param = {Cos[t], Sin[t], t}
{Cos[t], Sin[t], t}
ArcLengthFactor[ param, t, Cartesian] //Simplify
корень из 2
f[x_, y_, z_] := x^2 y^2 z
Integrate[ f[param] ArcLengthFactor[
param, t, Cartesian], {t, 0, 2 Pi}] // Simplify
Ряд функций служит для создания матрицы Якоби (матрицы частных производных) и вычисления относящихся к ней понятий:

  • JacobianMatrix [ ] — возвращает матрицу Якоби, определенную в текущих координатах;
  • JacobianMatrix [pt] — возвращает матрицу Якоби в точке pt и в текущих координатах;
  • JacobianMatrix [coordsys] — возвращает матрицу Якоби, определеннук в системе координат coordsys;
  • JacobianMatrix [pt, coordsys] — возвращает матрицу Якоби в точке pt, определенную в системе координат coordsys;
  • JacobianDeterminant [], JacobianDeterminant [pt] и т. д. — вычисление детерминанта матрицы Якоби при указанных выше определениях;
  • ScaleFactor [ ], ScaleFactor [pt] и т. д. — вычисление масштабного фактора при указанных выше определениях.

Применение этих функций поясняют следующие примеры:
JacobianMatrix[Cartesian[x, у, z]]
{{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}}
JacobianMatrix[Spherical[r, t, p] ]
{{Cos[p] Sin[t] , rCos[p] Cos[t] ,-rSin[p] Sin[t]},
{Sin[p] Sin[t] , rCos[t] Sin[p] , rCos[p] Sin[t]},
{Cos[t] , -rSin[t], 0}}
JacobianDeterminant[Spherical[r, t, p] ]
r^2Sin[t]
Integrate[r^2 JacobianDeterminant[ Spherical[r, theta, phi]],
{r, 0, 2}, {theta, 0, Pi}, {phi, -Pi, Pi}]
128n/5
Следующие функции определяют ряд характеристик векторного поля:

  • Div[f] — возвращает дивергенцию векторного поля f в текущей системе координат;
  • Curl [f ] — возвращает вихрь (ротор) векторного поля f в текущей системе координат;
  • Grad[f ] — возвращает градиент векторного поля f в текущей системе координат;
  • Laplasian [f] — возвращает лапласиан векторного поля f в текущей системе координат;
  • Вiharmonic [f] — возвращает лапласиан лапласиана векторного поля f в текущей системе координат;
  • Div [f, coordsys], Curl [f, coordsys] и т. д. — указанные выше функции в системе координат coordsys.

Приведем примеры использования этих функций:
Laplacian[x*y^2*z^3,ProlateSpheroidal[х, у, z]]
(Csc[y] Csch[x] (y2z3Cosh[x] Sin [у] +
2xyz3Cos[y] Sirih[x] +2xz3Sin[y] Sinh[x] +
6xy2zCsc[y] Csch[x] (Sin[y]2+ Sinh[x]2))) /
(Sin[y]2+Sinh[x]2)
Grad[x^2 y^3 z^4,ProlateSpheroidal[x, у, z]]
 
Вариационные методы —VariationalMethods
Подпакет VariationaLMethods содержит функции для реализации вариационных методов. Напомним, что вариационные методы заменяют минимизацию функционала, заданного на некотором бесконечномерном линейном пространстве, задачами его минимизации на последовательности конечномерных подпространств. Функционал в системе Mathematica задается следующим образом:
F= f[u[x], u'(x),x]dx
В данный подпакет включены следующие функции:

  • VariationalD [f, u [х] , х] — дает первую вариационную производную для функционала f одной переменной х;
  • VariationalD [f, u [х, у,…] , {х, у,…} ] — дает первую вариационную производную для функционала ряда переменных;
  • VariationalD [f, {u [х, у,…], v [х, у],…}, {х, у,…} ] — дает список первых вариационных производных для функционала ряда переменных;
  • EulerEquations [f, u [х] , х] — дает равенство Эйлера при f с одной переменной;
  • EulerEquations [f, u [х, у,…], {х, у,…} ] — дает равенство Эйлера при f с рядом переменных;
  • EulerEquations [f, {u [х, у,…] , v [х, у,…],…}, {х, у,…} ] — дает список с равенствами Эйлера при f с рядом переменных;
  • Firstlntegral [ f, u [х] , х] — дает первый интеграл с f, определенной для одной переменной х;
  • Firstlntegral [f, {u [х, у,…] ,v [х, у,…],…}, {х, у,…} ] — дает первый интеграл при f с рядом переменных;
  • Firstlntegral[u] — дает первый интеграл, ассоциированный с переменной и.

Применение данных функций поясняют следующие примеры:
<<Calculus `VariationalMethods`
VariationalD[y[x] Sin[l+y'[x]], y[x], x]
-Cost 1 +У [x]] y'[x] + Sin[l + y'[x]] d+y[x] y'[x])
EulerEquations[ m1^2 theta1[t]^2/2+m g 1 Cos[theta[t]], theta[t], t]
-Im(gSin[theta[t]] + 1 theta»[ t]) == 0
Firstlntegrals[m(r'[t]^2+r[t]^2 phi'[t]^2)/ 2-U[r], r[t],phi[t], t]
{Firstlntegral[phi] ->-mr[ t]2 phi’ [ t] , Firstlntegral[t] -> 1/2 (2U[r] + m (r[t]2phi'[t]2 + r^t]2)) }
Помимо указанных функций подпакет содержит функцию VariationalBound для представления границ и значений функционала. Ввиду громоздкости записи параметров этой функции ограничимся примерами ее применения:
VariationalBound[(-u[r] D[r^2 u'[r],r]/r^2-2u[r]^2/r)r^2,
u[r]^2 r^2,u[r], r,0,Infinity,(a-r)E^(-b r),a,b]
{-0.25, (a-> 2., b-> 0.5}}
VariationalBound[-u[x,у](D[u[x,y],x,2]+
D[u[x,y],y,2]) -2u[x,y],u[x,y],x,-a,a,y,-a,a,
(x^2-a^2)(y^2-a^2)(al+a2(x^2+y^2)),al,a2]

С полными возможностями этой функции можно ознакомиться по справочной базе данных (раздел Add-ons).

Статьи по теме

Комментарии запрещены.