Гамма — и полигамма-функции
22.12.2011
Гамма- и полигамма-функции
Широко используются гамма-функция и относящиеся к ней родственные функции:
- Gamma [ а ] — эйлерова гамма-функция;
- Gamma [ a, z] — неполная гамма-функция;
- Gamma [a, z 0, z 1 ] — обобщенная неполная гамма-функция Gamma (а, z 0) -Gamma(a,zl);
- GammaRegularized[a, z] — регуляризованная неполная гамма-функция
- (а,2)=Gamma(а,z)/Gamma(a);
- GammaRegularized[a, z0, zl] — обобщенная неполная гамма-функция Q(a,z0)-Q(a, zl);
- LogGamma [ z ] — логарифм эйлеровой гамма-функции;
- Pol у Gamma [ z ] — дигамма-функция \|/(z);
- Pol у Gamma [n, z] — n-я производная от дигамма-функции.
Приведем примеры вычисления этих функций.
| Ввод (In) |
Вывод (Out) |
|
Gamma[l,2.+3.*I] |
-0.133981- 0,.0190985 I |
|
Gamma [0.5] |
1.77245 |
|
Gaitima [1,2. , 3 . ] |
0.0855482 |
|
GammaRegularized [ 1 , 2 . +3 . I , 4 . +6 . *I ] |
-0.139176- 0.0366618 I |
|
LogGamma [0.5] |
0.572365 |
|
LogGarama [ 2 . +3 . * I ] |
-2.09285 + 2.3024 I |
|
PolyGamma[l] |
-EulerGamma |
|
PolyGamma [ 1 . ] |
-0.577216 |
|
PolyGarama [2 . +3 . *I] |
1.20798 + 1.10413 I |
Как видно из этих примеров, данный класс функций (как и многие другие) определен в общем случае для комплексного значения аргумента.
На представлены графики эйлеровой гамма-функции и неполной гамма-функции при вещественном аргументе. Поведение эйлеровой гамма-функции довольно сложно, особенно при отрицательных значениях аргумента — наблюдаются характерные разрывы функции с ее уходом в положительную и отрицательную бесконечность.
Поведение эйлеровой гамма-функции в комплексной плоскости довольно интересно. На показан контурный график этой функции, отражающий ее поведение на комплексной плоскости в ограниченной области изменения действительной и мнимой частей аргумента.
Графики других гамма-функций пользователь может’ построить и просмотреть самостоятельно.
Функции Бесселя
Функции Бесселя, являющиеся решениями линейных дифференциальных уравнений вида z 2 y" + zy’+ (z 2 — п 2 )у = 0, широко используются в анализе и моделировании волновых процессов. В системе Mathematica к этому классу относятся следующие функции:
- Bessell[n, z] — модифицированная функция Бесселя первого рода I(n, z);
- BesselJ[n, z] — функция Бесселя первого рода J(и, z);
- BesselK[n, z] — модифицированная функция Бесселя второго рода К(п, z);
- BesselY[n, z] — функция Бесселя второго рода Y(n, z).
Соотношения между этими функциями хорошо известны. Следующие примеры показывают вычисление функций Бесселя.
| Ввод (In) |
Вывод (Out) |
|
Bessell[0,l.] |
1.26607 |
|
Bessell[3,l.] |
0.0221684 |
|
Bessell[l,2.+3.*I] |
-1.26098 + 0.780149 I |
|
Bessell[2,2.+3.*I] |
1.25767 + 2.31877 I |
|
BesselK[2,2.+3.*I] |
-0.0915555 + 0.0798916 I |
|
BesselY[2,2.+3.*I] |
-2.3443 + 1.27581 I |
|
BesselY[2,2.+3.*I] |
|
|
N[BesselJ[l,0.5]] |
0.242268 |
|
N[BesselJ[l, 2+1*3]] |
3.78068- 0.812781 I |
Приведем также пример на вычисление производной от функции Бесселя:
D[BesselJ[l, x], (х, 2}]
1/2 (-BesselJ[l, x] +
1/2 (-BesselJ[l, x] +BesselJ[3, x]) )
Нетрудно заметить, что результат в данном случае также представлен через функции Бесселя.
В другом примере — вычислении интеграла от функции Бесселя — результат выражается через гипергеометрическую функцию:
Integrate[BesselJ[2,x],x]
1/24 x3 HypergeometricPFQ [ { 2/3 }, { 5/2,3}, -x2/4]
На показаны графики функций Бесселя Bessell и BesselJ первых четырех порядков.
Статьи по теме
Рубрика: Mathematica 8 | 
Метки: используют, пользователь, представленных, примеров, примеру, примеры, решения, хорошо