Warning: include(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include_once(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82

Warning: include_once(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82
Гипергеометрические функции | Учебники

Главная > Mathematica 8 > Гипергеометрические функции


Гипергеометрические функции

Гипергеометрические функции
Класс гипергеометрических функций в системе Mathematica представлен следующими встроенными в ядро функциями:

  • HypergeometricU [a, b, z] — конфлюэнтная (вырожденная) гипергеометрическая функция U(a, b, z);
  • Hypergeometric0Fl [a, z] — гипергеометрическая функция 0 F 1 , (; a; z);
  • HypergeometriclFl [а, b, z] — вырожденная гипергеометрическая функция Куммера 2 F 1 (a; b; z);
  • Hypergeometric2Fl [a, b, с, z] — гипергеометрическая функция F 1 (a, b; c, z). Следующие примеры показывают вычисления гипергеометрических функций.

Ввод (In)

Вывод (Out)

HypergeometricOFl [2 . , 1 . ]

1.59064

HypergeometricOFl [2 . , 2 . +3 . *I]

1.22457 + 2.31372 I

HypergeometriclFl [1 . , 2 . , 2 . +3 . *I]

-1.03861 + 2.07929 I

Hypergeometric2Fl[l. ,2. ,3. ,2.+3.*I]

0.0291956 + 0.513051 I

На представлены графики ряда гипергеометрических функций, перечисленных выше. 
Следует отметить, что число этих функций в ядре новых версий даже несколько сокращено по сравнению с предшествующими версиями. Убраны довольно редко используемые функции, в имени которых имеется слово Regularized.
Эллиптические интегралы и интегральные функции
В ядро системы Mathematica входят эллиптические функции и функции вычисления эллиптических интегралов:

  • EllipticE [m] — полный эллиптический интеграл Е(т);
  • EllipticE [phi, m] — эллиптический интеграл второго рода Е(Ф\т);
  • EllipticExp [u, {a, b}] — обобщенный экспоненциал, связанный с эллиптической кривой у 2 = х 3 + ах 2 + bx,
  • EllipticExpPrime [и, {а, Ь}] — производная по первому аргументу EllipticExp[u, {a, b}];
  • Elliptic? [phi, m] — эллиптический интеграл первого рода Р(Ф\т);
  • EllipticK[m] — полный эллиптический интеграл первого рода К(т)\
  • EllipticLog [ {х, у}, {а, Ь}] — обобщенный логарифм, связанный ц эллиптической кривой у 2 = л 3 + а х 2 + b т,
  • EllipticNomeQ [m] — возвращает значение q = Exp[-PiEllipticK[l — m]/EllipticK[m]];
  • Elliptic?! [n, phi, m] — эллиптический интеграл третьего рода П(и; Ф\т);
  • Elliptic?! [n, m] — полный эллиптический интеграл П(п|т);
  • EllipticTheta [i, z, q] — эллиптическая тета-функция &.(z, q), где i = i, 2, 3 или 4;
  • EllipticThetaC [u, m] — эллиптическая тета-функция Невилла $ с (и, т);
  • EllipticThetaD [u, m] — эллиптическая тета-функция Невилла $ d (u, m);
  • EllipticThetaN [u, m] — эллиптическая тета-функция Невилла $ п (и, m ) ;
  • EllipticThetaPrime [i, z, q] — производная по второму аргументу эллиптической тета-функции в .(z, q), где i= I, 2, 3 или 4;
  • EllipticThetaS [u, m] — эллиптическая тета-функция Невилла u s (w, т);
  • FresnelCfx] — интеграл Френеля С(х),
  • FresnelS[x] — интеграл Френеля S(x);
  • InverseJacobi** [v, m] — обратная эллиптическая функция Якоби с обобщенным названием **. Возможны следующие наименования для **: CD , CN, CS, DC, DN, DS, NC, ND, NS, SC, SD И SN;
  • JacobiAmplitude [u, m] — амплитуда для эллиптических функций Якоби;
  • Jacobian — опция для FindRoot; может применяться для указания якобиана системы функций, для которых ищется корень;
  • Jacob!** [u, m] — эллиптическая функция Якоби с обобщенным именем **, которое может принимать значения CD, CN, CS, DC, DN, DS, NC, ND, NS, SC, SD и SN;
  • JacobiSymbol [n, m] — символ Якоби от n и in;
  • JacobiZeta [phi, m] — дзета-функция Якоби Z(Ф|m);
  • WeierstrassP [u, g2, g3] — эллиптическая функция Вейерштрасса Р,
  • WeierstrassPPrime [u, g2, g3] — производная эллиптической функции Вейерштрасса Р’по переменной и.

Приведем примеры использования некоторых из этих функций.

Ввод (In)

Вывод (Out)

EllipticE[0.1]

1.53076

EllipticE[Pi,0.1]

3.06152

EllipticF [Pi/2 ,0.1]

1.61244

EllipticPi[Pi,0.1]

-0.0266412- 1.09088 I

EllipticK[0.l]

1.61244

FresnelC[1.0]

0.779893

FresnelSfl.0]

0.438259

JacobiCD[l,0.2]

0.605887

JacobiZeta [ Pi , 0 . 5]

0

WeierstrassPPrime [1. ,2. ,3.]

-1.31741

Эллиптические функции (интегралы) широко используются в оптических расчетах и в астрофизике. На показаны графики некоторых эллиптических функций.
Рисунок показывает построение контурного графика на комплексной плоскости с параметрическим заданием функций, выраженных через функцию Якоби и эллиптические интегралы. Нетрудно заметить, что график описывает довольно сложную и специфическую поверхность, содержащую периодические пики и впадины.

Читателю рекомендуется просмотреть ряд других примеров на использование функций данного раздела (например, в справочной базе данных системы Mathematica).

Статьи по теме

Комментарии запрещены.