Графы и их функции
Mathematica имеет самые обширные возможности решения задач, связанных с графами. Задание графов и манипуляции с ними также включены в пакет комбинаторики. Они представлены четырьмя группами функций.

Одной из самых важных функций этой группы является функция ShowGraph (показать граф). Она обеспечивает визуальное представление графа, заданного аргументом функции. Покажем работу избранных функций этой группы на нескольких примерах.
На показано построение полного графа и его таблицы. Параметром графа является число 6, характеризующее число узловых точек графа, соединенных друг с другом.
Изменяя значение параметра графа, можно получить множество других графов. На показан вид двух разных графов. Верхний граф — многолучевая звезда с добавленным отрезком, полученная с помощью функции AddEdge. Первый аргумент задает исходный граф (в нашем случае — звезду с 11 узлами), а второй — соединяемые отрезком прямой точки. Нижний рисунок иллюстрирует построение подграфа.
Еще пара графов представлена на. Этот рисунок иллюстрирует применение функций Contract и GridGraph. Последняя из них строит сеточный граф.
Приведенный выше набор функций позволяет строить практически любые виды графов и обеспечивает высокую степень их визуализации.

Рисунок показывает применение функций GraphUnion (верхний график) и GraphProduct (нижний график).

Рисунок (сверху) показывает применение функции OrientGraph для построения ориентированного графа, который представляется стрелками. Там же (снизу) показано применение функции ShowLabeledGraph для построения графа с маркированными числами вершинами. Напомним, что функция ShowGraph позволяет наблюдать графы без маркировки вершин.
Построение широко используемой в теории графов диаграммы Хассе (Hasse) иллюстрирует2.

Рисунок показывает действие функции MinimumSpanningTree с выводом графа с метками узловых точек.
В целом следует отметить, что набор функций в области создания, визуализации и теории графов весьма представителен, так что специалисты в области графов могут найти в этом наборе как типовые, так и уникальные средства.
Функции вычислительной геометрии — ComputationalGeometry
В подпакете ComputationalGeometry заданы следующие функции, относящиеся к геометрическим поверхностям:

Примеры применения этих функций приведены ниже:
<<DiscreteMath`ComputationalGeometry`
ConvexHull[{{0,2}, {1,1}, {0,0}, {2,0}, {1,2}}]
{4, 5, 1, 3}
delval = (DelaunayTriangulation[{{l,2J, {0,3}, {1,1}}]) // Short[#,2]&
{{1, {2, 3}}, {2, {3, 1}}, {3, {1, 2}}}
VoronoiDiagram[{{l,2}, {0,3}, {1,1}}]
{{{-0.50000000000000, 1.5000000000000},
Ray [{- 0.50000000000000, 1.5000000000000},
{1.5000000000000, 3.5000000000000}],
Ray [ {- 0.50000000000000, 1.5000000000000},
{2.0000000000000,1.50000000000000}],
Ray[ {- 0.50000000000000, 1.5000000000000},
{-2.5000000000000, 0.50000000000000} ]},
{{1, {1, 3, 2}}, {2, {1, 2, 4}}, {3, {1, 4, 3}}}}
Рисунок показывает задание на плоскости массива точек data2D, построение планарного графа и его выпуклой огибающей с помощью функции Convex-Hull.
Наконец, на6 показаны результаты действия еще двух функций — построение диаграммы и триангуляция в пространстве.
Дискретные функции единичного скачка и импульса — KroneckerDelta
В подпакете KroneckerDelta системы Mathematica 3 заданы дискретные функции единичного скачка и единичного импульса:

Примеры использования этих функций в одномерном варианте представлены ниже:
<<DiscreteMath` KroneckerDelta`
Table[DiscreteStep[n], {n, -3, 3}]
{0, 0, 0, 1, 1, 1, 1}
Table[DiscreteStep[n], {n, -3, 3, 1/2}]
{0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1}
Table[KroneckerDelta[n], {n, -2, 2, 1/2}]
{0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0}
Sum[KroneckerDelta[n— a]f[n], {n, -Infinity, Infinity}]
f[a]
Sum[( (KroneckerDelta[n]— KroneckerDelta[n-1]) —
(KroneckerDelta[n-1]— KroneckerDelta[n-2]) ) f[n], {n, -Infinity, Infinity}]
f[0]-2f[l] +f[2]
Рисунок иллюстрирует применение функции единичного скачка в двумерном случае.
В системе Mathematica 8 функция KroneckerDelta стала встроенной. В данный подпакет входят еще две функции:

Действие этих функций демонстрируют следующие примеры:
DiscreteStep[n — 1] (KroneckerDelta[n — 2] + DiscreteStep[n, m] DiscreteStep[m — 1]) // SimplifyDiscreteStep
DiscreteStep[-1+m]
DiscreteStep[-l+m] + KroneckerDelta[-2+n]
(f[n] + KroneckerDelta[n]) DiscreteStep[n-l] // SimplifyKroneckerDelta

Статьи по теме

• Улучшенное разложение на простые множители — FactorlntegerECM
• Решение линейных уравнений с трехдиагональной матрицей — Tridiagonal
• Геометрические расчеты — пакет Geometry
• Дискретные перестановки — Permutations
• Пакет дискретной математики DiscreteMath

Комментарии запрещены.