Warning: include(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include_once(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82

Warning: include_once(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82
Моделирование рассеивания альфа — частиц | Учебники

Главная > Maple 15 > Моделирование рассеивания альфа — частиц


Моделирование рассеивания альфа — частиц

Моделирование рассеивания альфа- частиц
Одним из фундаментальных доказательств существования ядра у атомов стал опыт с бомбардировкой тонкой фольги из металла альфа- частицами с высокой энергией. Если бы «массивных» ядер не существовало, то альфа- частицы должны были бы спокойно пролетать сквозь тонкую фольгу, практически не отклоняясь. Однако, как физики и ожидали, некоторая часть частиц испытывала сильное отклонение и даже поворачивала назад. Очевидно, что имели место отскоки (упругие столкновения) с малыми, но массивными ядрами металла фольги.
В нашем распоряжении, увы (а может быть и к счастью), нет ускорителя альфа- частиц. Так что мы, не опасаясь облучения и очередной Чернобыльской катастрофы, сможем смоделировать это интереснейшее физическое явление с помощью математической системы Maple 15. Причем спокойно сидя перед своим домашним компьютером и глубокомысленно наблюдая за траекториями полета альфа- частиц.
Итак, пусть в нашем теоретическом опыте альфа- частицы с энергией 4 МэВ рассеиваются тонкой золотой фольгой. Рассчитать траекторию частицы, приближающейся к ядру атома Аи. Прицельное расстояние р равно 2*10-15 м. Приступим к решению задачи и зададим вначале систему дифференциальных уравнений для траектории альфа- частицы:

Введем исходные числовые данные для вычислений:
> ql:=2*i;6e-19:q2:=79*1.6e-19:massa:=4*1.67e-27:EO:=8.85e-12: a:=4e-13:
p:=5e-15:T:=4e6*1.6e-19:V0x:=sqrt(2*T/massa):
Создадим графическую структуру решения нашей системы дифференциальных уравнений для нескольких расчетных отклонений линии движения альфа- частицы от центра ядра атома, находящегося на ее пути:
> with(DEtools):ss:=DEplot({sys},{y(t),x(t)},t=0..7e-20.
[[x(0)=-a,D(x)(0)=VOx,y(0)=p,D(y)(0)=0].
[x(0)=-a,D(x)(0)=VOx,y(0)=p*4.D(y)(0)=0],
[x(0)=-a,D(x)(0)=VOx,y(0)=p*8,D(y)(0)=0],
[x(0)=-a,D(x)(0)=VOx,y(0)=p*12,D(y)(0)=0].
[x(0)=-a;D(x)(0)=VOx,y(0)=p*16,D(y)(0)=0],
[x(0)-a.D(x)(0)-VOx.y(0)-p*20,D(y)(0)-0].
[x(0)=-a,D(x)(0)=VOx,y(0)=p*24,D(y)(0)=0],
[x(0)=-a,D(x)(0)=VOx,y(0)=p*28,D(y)(0)=0]],
x(t)=-a..a,scene=[x(t),y(t)],stepsize=le-21,1inecolor=bl ack):
> with(plottools):yy:=circle([0.0],2E-14,color=red,thickness=2):
Warning, the name translate has been redefined
Построим центр ядра (кружок со знаком +) и траектории альфа- частиц:
> ss2:=PLOT(TEXT([0.-0.3e-14],’+’), FONT(HELVETICA, OBLIQUE.14)):
Осталось построить график траекторий движения альфа- частиц вблизи центра атома: i
> with(plots):
Warning, the name changecoords has been redefined
> disp1ay([ss,yy,ss2],tit1e=’Pacceивание а-частиц’,axes=framed);
График траекторий движения альфа- частиц вблизи ядра представлен. Этот график настолько нагляден, что не требует пояснения.
Моделирование движения альфа- частиц вблизи малого и «массивного» ядра атома дает наглядное представление о математической и физической сути данного опыта. Надо лишь помнить, что нельзя нацеливать альфа- частицы прямо в центр ядра. Более сложные, чем приведенные, расчеты показывают, что при этом альфа-частица настолько близко подходит к ядру, что надо учитывать новые факторы, возникающие при близком взаимодействии. Они могут привести к тому, что частица будет поглощена ядром- Но это уже тема нового разговора,, выходящего за рамки данной книги.
Моделирование и расчет электронных схем
Нужно ли применять Maple для моделирования и расчета электронных схем?
Нужно ли применять системы компьютерной математики для анализа, расчета и моделирования электронных схем? Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется с первого взгляда. С одной стороны, к услугам пользователя компьютера сейчас имеется ряд программ схемотехнического моделирования, например Micro-CAP, Electronics Workbench, PSpice, Design Labs и др., автоматически составляющих и решающих большие системы уравнений состояния электронных схем и моделирующих работу бесчисленного множества электронных схем без кропотливого «ручного» составления уравнений.
Но, с другой стороны, анализ схем в таких программах настолько автоматизирован, что начисто теряется его физическая и математическая сущность. Это не так уж страшно, когда моделируются типовые схемы на давно известных или, скорее, просто хорошо знакомых электронных приборах. Но это явно плохо, когда объектом исследования и моделирования являются новые нетрадиционные схемы на новых или малоизвестных приборах или когда знание физических и математических основ работы таких схем принципиально необходимо. Например, при изучении их в вузах и университетах. В этом случае применение систем компьютерной математики не только возможно, но и принципиально необходимо.
Малосигнальный анализ усилителя на полевом транзисторе
Рассмотрим классический усилительный каскад на полевом транзисторе, схема которого приведена. Его эквивалентная малосигнальная схема представлена.

Наша цель заключается в расчете характеристик усилителя операторным методом. Подключим нужный нам пакет plots:
> restart:with(plots):
Warning, the name changecoords has been redefined
Из законов Киргофа вытекает, что сумма токов, втекающих в каждый узел и вытекающих из него равна 0. Следовательно, для узлов эквивалентной схемы можно записать следующую систему уравнений в операторной форме:

Переменные напряжения на узлах схемы находятся из аналитического решения данной системы. При этом заблокируем вывод их аналитических значений, поскольку он очень громоздок. Тем не менее вы можете посмотреть на полученные формулы, поставив знак точки с запятой вместо знака двоеточия в приведенных ниже выражениях:
> solve({eql,eq2,eq3.eq4}б{Vl,V2.V3,Vo}):
Обеспечим присвоение переменным Vo, VI, V2 и V3 найденных из решения системы уравнений значений:
> assign(%):
Теперь найдем операторную передаточную функцию в аналитическом виде:

В соответствии с выбранным операторным методом анализа введем обозначения:

Это позволяет найти Н как функцию от частоты f также в аналитическом виде:

Это тоже довольно громоздкое выражение, и его применение при «ручном» анализе потребовало бы от нас немало изобретательности. Между тем Maple 15 позволяет «в два счета» определить из него амплитудно-частотную (AVM) и фазо- частотную (PhaseAV) характеристики усилителя как функции частоты:
> AVM=-evalc(abs(H)):
> PhaseAV:=evalc(argument(H)):
Преобразуем AVD в логарифмическую характеристику, выражающую усиление в децибелах (dB):
> AVdB:=20*1og10(AVM):
Такая характеристика более привычна для специалистов в радиоэлектронике. Соответственно фазо-частотную характеристику выразим в градусах:
> R2D:=evalf(360/(2*Pi));R2D := 57.29577950
> AVdeg:=R2D*PhaseAV:
Теперь можно перейти к обычным численным расчетам. Зададим конкретные значения компонент эквивалентной схемы усилителя:
> Rl:=100: R2:=100000: R3:=1000: R4:=10000: Cl:=1.*10^(-6): С2:=5*10^(-12): СЗ:=1*10^(-6): mu:=50:
Построим амплитудно-частотную характеристику усилителя:
> gaindata:-NULL:
phasedata:=NULL:
for a from 0 to 8 do:
for i from 2*10^a to l(T(a+l) by 10^a do
gaindata:=gaindata,  [1. evalf(subs(f=i,AVdB))];
phasedata:=phasedata, [i, eva1f(subs(f=i,AVdeg))]:
od: od:
> 1oglogp1ot([gaindata]. thickness»2, color=black, style=1ine, axes=boxed,
title=`Коэффициент усиления K(f)`,1abels=[‘Частота (Hz)VK(d8)’]):
Она показана.
Далее зададим построение фазо-частотной характеристики усилителя:
> 1og1ogplot([phasedata], thickness=2, color=b1ue, style=line, axes=boxed, title=’Фаэовый сдвиг (в градусах)`, labels=[‘Частота (Hz)’,’Фаза’]);
Она представлена.
Найдем номинальный коэффициент усиления на частоте f=1000 (Гц):
> AVmid:=eva1f(subs(f=1000, AVdB)):
AVmid=33.12074854
Имея аналитическое выражение для амплитудно-частотной характеристики, можно составить уравнения для вычисления граничных частот (по спаду усиления на -dAV в dB):
> dAV:=3:   #Ослабление (в dB на граничных частотах)
> eq5:=AVmid-dAV=20*log10(AVM):
Теперь можно найти эти частоты — нижнюю и верхнюю:
> flow:=fsolve(eq5,f. f-10..2000):flow:= 23.61659476
> fhigh:=fsolve(eqS,f, f-2000..100*10*6);
fliigh := .5737800225 107
Мы можем построить и более наглядную амплитудно-частотную характеристику с точками, соответствующими граничным частотам:
> with(plottools) :h:=log10(AVnvid-dAV):
aplot:= Loglogplot([gaindata], thickness=2, color=b1ack. style=line, axes=boxed,
title=’Частоты flow и fhigh среза’, labels=[‘Частота (Hz)VK(dB)’]):
bplot:=line([0.1,h], [7.1,h], color=black, linestyle=3):
cplot:=line([log10(flow),0.58],[logHK flow). 1.6], color=blue, linestyle=3):
dplot:=line([log10(fh1gh).0.58],. [log10(fhigh).1.6],. color=red,. 1inestyle=3):
display([aplot.bplot,cplotJ,dplot]):
Эта характеристика показана.
На ней проставлены синяя и красная пунктирные вертикали, соответствующие найденным граничным частотам flow и fhigh, а также пунктирная горизонталь, соответствующая коэффициенту усиления на этих частотах. Это позволяет наглядно оценить частотный диапазон работы усилителя.

Таким образом, задача расчета усилителя в малосигнальном режиме полностью решена. Мы получили значение номинального коэффициента усиления, рассчитали нижнюю и верхнюю граничные частоты, получили аналитические выражения для амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик усилителя и построили их наглядные графики.

Статьи по теме

Комментарии запрещены.