Warning: include(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include_once(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82

Warning: include_once(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82
Операции с полиномами | Учебники

Главная > Mathematica 8 > Операции с полиномами


Операции с полиномами

Операции с полиномами
Если конечные поля — понятие достаточно экзотическое, то полиномы встреча- ются сплошь и рядом во многих математических и научно-технических расчетах. В пакете расширения Algebra определен ряд новых операций над полиномами. Начнем их рассмотрение с функции PolynomialExtendedGCD:

  • PolynomialExtendedGCD [polyl, poly2 ] — возвращает наибольший общий делитель двух полиномов;
  • PolynomialExtendedGCD[polyl,poly2,Modulus->p] —возвращает наи- больший общий делитель двух полиномов по модулю р.

Примеры применения этой функции приведены ниже:
<<Algebra"PolynomialExtendedGCD
PolynomialExtendedGCDlxл2 + 3 х + 2, Expand[(x + 1)(х + 2)], Modulus->7]
{2+ Зх+х2, (0, 1}}
PolynomialExtendedGCD[
Expand[ ((12+1) z^2 + 5 z + I) (I z + 3)], Expand[ ((9+1) z + (3+1)) ((31) z +9)]]
{-31+z,
{- 2261/3341+ 710I/3341( 35/3341- 3951/10023)+ (5959/20046- 20531/20046)z}}
Далее следует функция PolynomialPowerMod [polyl, n, (poly2, р} ], которая является существенно ускоренной версией функции PolynomialMod.

  • степени ускорения свидетельствует следующий пример:

<<Algebra`PolynomialPowerMod`
Timing[PolynomialPowerMod[1 + х, 200, х^З + x^2 + 1, Prime[4750]]][[1]], Timing [ PolynomialMod [ (1 + x)^200, x^ + х^2 + 1, Prime [4750] ]][[1]]
{0. Second, 2.37 Second)
В данном случае вычисления по функции PolynomialPowerMod оказались вы- полненными менее чем за 0.01 с, что дает нулевой результат.
Еще одна функция в трех ее модификациях работает с симметричными полиномами:

  • SymmetricReduction [ {xl,…,xn}, k] — возвращает симметричный полином степени k по переменным {х1,…, хn);
  • SymmetricReduction [f, {xl,…,xn}] — возвращает часть полинома {p,q} по переменным {х1,…,хп}, где f=p+q, причем р есть симметричная часть, q — остаток;
  • SymmetricReduction [f, {xl,…,xn}, {s1,…, sn} ] — возвращает часть полинома (p,q) попеременным {xl, …,xn}, где элементарный симметричный полином представляет список {s1,…, sn}.

Следующий пример поясняет создание симметричного полинома 4-й степени по переменным {х,у, z,w,t}:
<<Algebra` SymmetricPolynomials`
SyiranetricPolynomial[{x, y, z, w, t}, 4]
twxy+ twxz+ twyz+txyz+wxyz
Действие других функций поясняют следующие примеры:
SynraetricReduction[(х + у)^2 + (х + z)^2 + (z + у)^2, {х, у, z}]
{2 (х+у+ z)2- 2 (xy+xz+yz), 0}
SymmetricReduction[х^5 + у^5 + z^4, {х, у, z}, {s1, s2, s3}]
{s15- 5s13s2 + 5s1s22+ 5sl2s3- 5s2s3, z4-z5}
Преобразование полиномов в схему Горнера — Horner
Подпакет Horner в системе Mathematica 8 реализует хорошо известную схему вычисления полиномов — схему Горнера. При ней операции возведения в степень заменяются операциями умножения. Для этого служит функция Horner:

  • Horner [poly] — устанавливает полином poly в форму Горнера;
  • Horner [poly, vars] — устанавливает полином ряда переменных vars в форму Горнера.

Примеры преобразования полиномов в схему Горнера:
<<NumericalMath`Horner`
Horner[ 11 х^3 -4 х^2 + 7 х + 2 ]
2+ х (7 + х (-4 + 11х))
Horner[ а х^3 + bх^2 + с х + d, х ]
d+ х (с + х (b + ах))
Horner[ х^(1/3) + х + х^(3/2) ]
Схема Горнера может использоваться и для отношения полиномов:
Horner [polyl/poly2] и Horner [polyl/poly2, varsl,vars2] .
Эти функции можно использовать для улучшенного представления аппроксимации Паде, что демонстрирует следующий пример:
<<Calculus ` Fade`
approx = Padef Exp[Log[x] -х] , {х, 0, 3, 2}]]
Horner[ approx ]

Переход к схеме Горнера дает ряд преимуществ перед обычным вычислением полиномов: уменьшается время вычислений, повышается их точность, уменьшается вероятность расхождения численных методов, в которых используются полиномы. В системе Mathematica 3 подпакет Corner находился в пакете расширения NumberMath, что было не вполне логично.

Статьи по теме

Комментарии запрещены.