Основные понятия линейной алгебры
Массивы, в основном в виде векторов и матриц, широко применяются при решении задач линейной алгебры. Прежде чем перейти к рассмотрению возможностей Mathematica в части решения таких задач, рассмотрим краткие определения, относящиеся к линейной алгебре.
Матрица — прямоугольная двумерная таблица, содержащая m строк и п столбцов элементов, каждый из которых может быть представлен числом, константой, переменной, символьным или математическим выражением (расширительная трактовка матрицы).
Квадратная матрица — матрица, у которой число строк m равно числу столбцов п. Пример квадратной матрицы размером 3×3:
1  2  3
4  5  6
7  8  9
Сингулярная (вырожденная) матрица — квадратная матрица, у которой детерминант (определитель) равен 0. Такая матрица обычно не упрощается при символьных вычислениях. Линейные уравнения с почти сингулярными матрицами могут давать большие погрешности при решении.
Единичная матрица — это квадратная матрица, у которой диагональные элементов равны 1, а остальные элементы равны 0. Ниже представлена единичная матрица размером 4×4: 

Транспонированная матрица — квадратная матрица, у которой столбцы и строки меняются местами. Приведем простой пример.
Исходная матрица:

Транспонированная матрица:

Обратная матрица — это матрица М -1 , которая, будучи умноженной на исходную квадратную матрицу М, дает единичную матрицу Е.
Ступенчатая форма матрицы соответствует условиям, когда первый ненулевой элемент в каждой строке есть 1 и первый ненулевой элемент каждой строки появляется справа от первого ненулевого элемента в предыдущей строке, то есть все элементы ниже первого ненулевого в строке — нули.
Диагональ матрицы — расположенные диагонально элементы А., матрицы А. В приведенной ниже матрице элементы диагонали представлены заглавными буквами:
 

Обычно указанную диагональ называют главной диагональю — для матрицы А, приведенной выше, это диагональ с элементами А, Е и L. Иногда вводят понятия поддиагоналей (элементы d и k) и наддиагоналей (элементы b к f).
Ранг матрицы — наибольший из порядков отличных от нуля миноров квадратной матрицы.
След матрицы — сумма диагональных элементов квадратной матрицы. Определитель матрицы — это многочлен от элементов квадратной матрицы, каждый член которого является произведением п элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца со знаком произведения, заданным четностью перестановок:
detА = Сумма a1j(-1)j+1M1<j>
где M <J> — определитель матрицы порядка n-1, полученной из матрицы А вычеркиванием первой строки и j-то столбца. В таком виде определитель (он же детерминант) легко получить в символьных вычислениях. В численных расчетах мы будем подразумевать под определителем численное значение этого многочлена.
Матрица в целой степени — квадратная матрица в степени п (п — целое неотрицательное число), определяемая следующим образом: М° = Е, М 1 = М, М 2 = = М*М,…, Мn = М n-1 -М.
Идемпотентная матрица — матрица, отвечающая условию Р 2 = Р.
Инволютивная матрица — матрица, отвечающая условию I 2 = Е.
Симметрическая матрица — матрица, отвечающая условию А т = А.
Кососимметрическая матрица — матрица, отвечающая условию А т = -А.
Ортогональная матрица — матрица, отвечающая условию А т = А- 1 .
Комплексно-сопряженная матрица — матрица А , полученная из исходной матрицы А заменой ее элементов на комплексно-сопряженные.
Эрмитова матрица — матрица А, удовлетворяющая условию А = А .
Собственный вектор квадратной матрицы А — любой вектор х е V n , х не равно 0, удовлетворяющий уравнению Ах = gx, где g — некоторое число, называемое собственным значением матрицы А.
Характеристический многочлен матрицы — определитель разности этой матрицы и единичной матрицы, умноженный на переменную многочлена — |А — g Е|.
Собственные значения матрицы — корни ее характеристического многочлена.
Норма — обобщенное понятие абсолютной величины числа. Норма трехмерного вектора ||х|| — его длина. Норма матрицы — значение sup(||Ax||/||x||). I-норма матрицы А — число
Матричная форма записи системы линейных уравнений — выражение А-Х = В, где А — матрица коэффициентов системы, X — вектор неизвестных, и В — вектор свободных членов. Один из способов решения такой системы очевиден — X = А -1 В, где А- 1 — обратная матрица.
Функции линейной алгебры
Следующая группа функций системы Mathematica позволяет осуществлять над векторами и матрицами основные операции, используемые в линейной алгебре:

Следующие примеры иллюстрируют применение основных из этих функций.

Вычисление детерминанта матрицы и функций, относящихся к собственным значениям, представлено на.
Приведем еще несколько примеров:
m={{1,2},{3,7}}
{{1, 2}, {3, 7}}
Transpose[m]
{{1, 3), {2, 7}}
m//MatrixForm
1 2
3 7
Transpose[m]//MatrixForm
Inverse[m]//MatrixForm
7 -2
-3 1

Статьи по теме

• Вычисление сумм в численном виде
• Экспорт в другие форматы
• Вхождение блока
• Вычисление производных
• Решение систем линейных уравнений

Комментарии запрещены.