Warning: include(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include_once(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82

Warning: include_once(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82
Основные понятия линейной алгебры | Учебники

Главная > Mathematica 8 > Основные понятия линейной алгебры


Основные понятия линейной алгебры

Основные понятия линейной алгебры
Массивы, в основном в виде векторов и матриц, широко применяются при решении задач линейной алгебры. Прежде чем перейти к рассмотрению возможностей Mathematica в части решения таких задач, рассмотрим краткие определения, относящиеся к линейной алгебре.
Матрица — прямоугольная двумерная таблица, содержащая m строк и п столбцов элементов, каждый из которых может быть представлен числом, константой, переменной, символьным или математическим выражением (расширительная трактовка матрицы).
Квадратная матрица — матрица, у которой число строк m равно числу столбцов п. Пример квадратной матрицы размером 3×3:
1  2  3
4  5  6
7  8  9
Сингулярная (вырожденная) матрица — квадратная матрица, у которой детерминант (определитель) равен 0. Такая матрица обычно не упрощается при символьных вычислениях. Линейные уравнения с почти сингулярными матрицами могут давать большие погрешности при решении.
Единичная матрица — это квадратная матрица, у которой диагональные элементов равны 1, а остальные элементы равны 0. Ниже представлена единичная матрица размером 4×4: 

 

 

1

0

0

0

 

 

0

1

0

0

E

=

0

0

1

0

 

 

0

0

0

1

Транспонированная матрица — квадратная матрица, у которой столбцы и строки меняются местами. Приведем простой пример.
Исходная матрица:

 

 

a

b

c

A

=

d

e

f

 

 

i

k

l

Транспонированная матрица:

 

 

a

d

i

А т

=

b

e

k

 

 

c

f

l

Обратная матрица — это матрица М -1 , которая, будучи умноженной на исходную квадратную матрицу М, дает единичную матрицу Е.
Ступенчатая форма матрицы соответствует условиям, когда первый ненулевой элемент в каждой строке есть 1 и первый ненулевой элемент каждой строки появляется справа от первого ненулевого элемента в предыдущей строке, то есть все элементы ниже первого ненулевого в строке — нули.
Диагональ матрицы — расположенные диагонально элементы А., матрицы А. В приведенной ниже матрице элементы диагонали представлены заглавными буквами:
 

 

 

A

b

c

А

=

d

E

f

 

 

i

k

L

Обычно указанную диагональ называют главной диагональю — для матрицы А, приведенной выше, это диагональ с элементами А, Е и L. Иногда вводят понятия поддиагоналей (элементы d и k) и наддиагоналей (элементы b к f).
Ранг матрицы — наибольший из порядков отличных от нуля миноров квадратной матрицы.
След матрицы — сумма диагональных элементов квадратной матрицы. Определитель матрицы — это многочлен от элементов квадратной матрицы, каждый член которого является произведением п элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца со знаком произведения, заданным четностью перестановок:
detА = Сумма a1j(-1)j+1M1<j>
где M <J> — определитель матрицы порядка n-1, полученной из матрицы А вычеркиванием первой строки и j-то столбца. В таком виде определитель (он же детерминант) легко получить в символьных вычислениях. В численных расчетах мы будем подразумевать под определителем численное значение этого многочлена.
Матрица в целой степени — квадратная матрица в степени п (п — целое неотрицательное число), определяемая следующим образом: М° = Е, М 1 = М, М 2 = = М*М,…, Мn = М n-1 -М.
Идемпотентная матрица — матрица, отвечающая условию Р 2 = Р.
Инволютивная матрица — матрица, отвечающая условию I 2 = Е.
Симметрическая матрица — матрица, отвечающая условию А т = А.
Кососимметрическая матрица — матрица, отвечающая условию А т = -А.
Ортогональная матрица — матрица, отвечающая условию А т = А- 1 .
Комплексно-сопряженная матрица — матрица А , полученная из исходной матрицы А заменой ее элементов на комплексно-сопряженные.
Эрмитова матрица — матрица А, удовлетворяющая условию А = А .
Собственный вектор квадратной матрицы А — любой вектор х е V n , х не равно 0, удовлетворяющий уравнению Ах = gx, где g — некоторое число, называемое собственным значением матрицы А.
Характеристический многочлен матрицы — определитель разности этой матрицы и единичной матрицы, умноженный на переменную многочлена — |А — g Е|.
Собственные значения матрицы — корни ее характеристического многочлена.
Норма — обобщенное понятие абсолютной величины числа. Норма трехмерного вектора ||х|| — его длина. Норма матрицы — значение sup(||Ax||/||x||). I-норма матрицы А — число
Матричная форма записи системы линейных уравнений — выражение А-Х = В, где А — матрица коэффициентов системы, X — вектор неизвестных, и В — вектор свободных членов. Один из способов решения такой системы очевиден — X = А -1 В, где А- 1 — обратная матрица.
Функции линейной алгебры
Следующая группа функций системы Mathematica позволяет осуществлять над векторами и матрицами основные операции, используемые в линейной алгебре:

  • Cross [vl,v2, v3,…] — векторное произведение (может задаваться в виде v1*v2*v3*…);
  • Det [m] — возвращает детерминант (определитель) квадратной матрицы m;
  • DiagonalMatrix [list] — возвращает диагональную матрицу с главной диагональю, сформированной из элементов списка list, и нулевыми остальными элементами матрицы;
  • Dot [a, b, с] — возвращает произведения векторов, матриц и тензоров. Операцию произведения можно задавать также в виде а. b. с;
  • Eigensystem[m] — возвращает список {values, vectors} собственных значений и собственных векторов квадратной матрицы т;
  • Eigenvalues [m] — возвращает список собственных значений квадратной матрицы m;
  • Eigenvectors [m] — возвращает список собственных векторов квадратной матрицы m;
  • IdentityMatrix [n] — возвращает единичную матрицу размером пхп (у нее диагональные элементы имеют значения 1, остальные 0);
  • Inverse [m] — возвращает обратную матрицу для квадратной матрицы т, то есть матрицу m- 1 , которая, будучи умноженной на исходную матрицу, дает единичную матрицу;
  • LinearSolve [m, b] — возвращает вектор х, представляющий собой решение матричного уравнения m. x==b, где m — матрица коэффициентов левой части системы линейных уравнений, х — вектор неизвестных и b — вектор свободных членов в правой части системы;
  • Tr [list] — возвращает след матрицы или тензора (эта функция есть только у Mathematica 4);
  • Transpose [m] — возвращает транспонированную матрицу, у которой столбцы и строки меняются местами в сравнении -с исходной матрицей m;
  • RowReduce [m] — производит гауссовское исключение переменных, возвращая упрощенную форму матрицы m, полученную путем линейного комбинирования строк.

Следующие примеры иллюстрируют применение основных из этих функций.

Ввод (In)

Вывод (Out)

A: =IdentityMatrix [3]

А

{{1,

0,

0},

{0, 1, 0}, {0, 0, 1}}

MatrixExp [A]

{{E,

0,

0},

{0, E, 0}, {0, 0, E}}

MatrixQ [A]

True

MatrixPower [MatrixExp [A] , -1 . 5]

{{0. {0,

22313, 0, 0}, {0, 0.22313, 0), 0, 0.22313}}

А+{{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}}

{{2,

2,

3},

{4, 6, 6}, {7, 8, 10}}

m:={{1,2},{3,7}}

Inverse [m]

{{7,

-2}

, (

-3, 1}}

MatrixQ [m]

True

RowReduce [m]

{{1,

0},

{0

, 1}}

Вычисление детерминанта матрицы и функций, относящихся к собственным значениям, представлено на.
Приведем еще несколько примеров:
m={{1,2},{3,7}}
{{1, 2}, {3, 7}}
Transpose[m]
{{1, 3), {2, 7}}
m//MatrixForm
1 2
3 7
Transpose[m]//MatrixForm
Inverse[m]//MatrixForm
7 -2
-3 1

В приложении указан ряд дополнительных матричных функций, применяемых реже, чем описанные выше функции.

Статьи по теме

Комментарии запрещены.