Warning: include(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include_once(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82

Warning: include_once(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82
Особые случаи вычисления интегралов | Учебники

Главная > Mathematica 8 > Особые случаи вычисления интегралов


Особые случаи вычисления интегралов

Особые случаи вычисления интегралов
При вычислении сложных интегралов, например не имеющих представления через элементарные функции, система Mathematica 2 обращалась к своим пакетам расширений в попытке найти решение, которое может быть представлено через специальные математические функции. Mathematica 3/4 уже не акцентирует внимание пользователя на своих проблемах и, как правило, выдает результат интегрирования. Однако порой он может иметь довольно необычный вид .
Эти примеры наглядно показывают, что вычисление первообразных в системе может дать результаты, далекие от тривиального вычисления неопределенных интегралов, имеющихся в обычных справочниках по математике. Кстати, и при вычислении тривиальных интегралов результат может оказаться иным, чем в справочниках, из-за различных преобразований, примененных для получения конечных формул. Подчас могут потребоваться определенные усилия для получения результата в заданной форме. Как подынтегральное выражение, так и результаты вычислений могут содержать как элементарные, так и специальные математические функции.
В заключение надо отметить, что результаты символьного интегрирования в системах Mathematica 3 и Mathematica 8 нередко различаются. Более того, они могут различаться и в пределах одной версии Mathematica, так как ядро системы постоянно совершенствуется. Обычно более поздние версии дают более точные результаты вычислений особых интегралов, хотя подчас они и выглядят более сложными и даже необычными. Это говорит о необходимости вдумчиво относиться к получаемым результатам.
Численное интегрирование
Для вычисления численных значений определенных интегралов используется функция NIntegrate [f, {x, xmin, xmax}], которая возвращает численное приближение интеграла от функции f по переменной х в пределах от x min до x max .
Она имеет ряд опций, которые можно получить, исполнив команду Options [Nlnteg-rate]. Описание этих опций дано в приложении. Приведем примеры численного интегрирования.

Ввод (In)

Вывод (Out)

NIntegrate [Bessel J [l,x] ^ 3,{x,0,l}]

0.0243409

N[Sqrt [Pi] *Gamma [1/6] / (6*Gamma [2/3] ) ]

1.21433

NIntegrate [1/Sqrt [1-х^6] , {х , 0 , 1 } ]

1.21433

NIntegrate [E ^ -x*Cos [х] , {х, 0 , Infinity} ]

0.5

NIntegrate [х*у, {х,0,1} , {у,х,х ^ 2} , {z,x*y,x ^ 2*y ^ 3}]

0.010582

NIntegrate [l/(x*y) , {х,4,4 .4} , {у, 2, 2. 6}]

0.025006

NIntegrate [Sqrt[2*x+l] ,{x,0,l}]

1.39872

Эти примеры показывают, что функция NIntegrate с успехом может применяться для вычисления как однократных, так и многократных определенных интегралов, в том числе с переменными пределами.
Вычисление пределов функций
Многие функции при приближении аргумента к некоторому значению или к некоторой области значений стремятся к определенному пределу. Так, функция sin(x)/x при х, стремящемся к нулю (обозначим это как х—> 0), дает предел 1 в виде устранимой неопределенности 0/0.
Численные математические системы, равно как и большинство программ на обычных языках программирования, не воспринимают выражение 0/0 —> 1 как объективную реальность. Их защитный механизм настроен на примитивное правило — ничего нельзя делить на 0. Следовательно, вычисление sin(x)/x при х = 0 будет сопровождаться выдачей ошибки типа «Деление на 0». Конечно, в данном конкретном случае можно предусмотреть особый результат — выдать 1 при х = 0. Но это частный случай. В целом же подобные системы «не понимают» понятия предела.
Пределом некоторых функций может быть бесконечность, тогда как многие функции стремятся к конечному пределу при аргументе х, стремящемся к бесконечности. Система Mathematica не только численно находит пределы функций, заданных аналитически, но и позволяет найти предел в виде математического выражения.
На представлены примеры применения функции Limit. Они показывают, что возможно вычисление пределов функций, устремляющихся к бесконечности, и вычисление пределов при переменной х, стремящейся в бесконечность. Вычисление пределов функций в аналитическом виде — важное достоинство систем символьной математики.
При работе с функцией Limit используются следующие опции:

  • Analytic — указывает, следует ли неопознанные функции интерпретировать как аналитические (значение по умолчанию — Automatic);
  • Direction — указывает направление, в котором происходит приближение к пределу. Опция используется в виде Direction -> -1 (или +1), по умолчанию выбор остается за системой (Automatic). Значение +1 означает предел слева, а -1 — справа (казалось бы, должно быть наоборот, но задано именно так).

Применение данных опций поясняют примеры, показанные на.

Статьи по теме

Комментарии запрещены.