Пакет для студентов student
Пакет для студентов student
Функции пакета student
Пакет student — это, несомненно, один из пакетов, наиболее привлекательных для студентов и аспирантов. В нем собраны наиболее распространенные и нужные функции, которые студенты университетов и иных вузов обычно используют на практических занятиях, при подготовке курсовых и дипломных проектов. Набор этих функций, разумеется, не ограничивается «скромными» потребностями студентов — просто это наиболее распространенные функции, в основном относящиеся к математическому анализу. Наряду со студентами эти функции широко используют профессионалы-математики и ученые, применяющие математические методы в своей работе.
В этом пакете имеется почти полсотни функций:
- D — дифференциальный оператор;
- Diff — инертная форма функции вычисления производной;
- Doubleint — инертная форма функции вычисления двойного интеграла;
- Int — инертная форма функции интегрирования int;
- Limit — инертная форма функции вычисления предела limit;
- Lineint — инертная форма функции вычисления линейного интеграла lineint;
- Point — тестирование объекта на соответствие типу точки (point);
- Product — инертная форма функции вычисления произведения членов последовательности;
- Sum — инертная форма функции вычисления суммы членов последовательности;
- Tripleint — инертная форма функции вычисления тройного интеграла;
- changevar — замена переменной;
- combine — объединение подобных членов;
- completesquare — вычисление полного квадрата (многочлена);
- distance — вычисление расстояния между точками;
- equate — создание системы уравнений из списков, таблицы, массивов;
- extreme — вычисление экстремума выражения;
- integrand — вывод подынтегрального выражения из-под знака инертного интеграла;
- intercept — нахождение точки пересечения двух кривых;
- intparts — интегрирование по частям;
- isolate — выделение подвыражения;
- leftbox — графическая иллюстрация интегрирования методом левых прямоугольников;
- leftsum — числовое приближение к интегралу левыми прямоугольниками;
- makeproc — преобразование выражения в процедуру Maple;
- maximize — вычисление максимума функции;
- middlebox — графическая иллюстрация интегрирования методом центральных прямоугольников;
- middlesum — числовое приближение к интегралу центральными прямоугольниками;
- midpoint — вычисление средней точки сегмента линии;
- minimize — вычисление минимума функции;
- powsubs — подстановка для множителей выражения;
- rightbox — графическая иллюстрация интегрирования методом правых прямоугольников;
- rightsum — числовое приближение к интегралу правыми прямоугольниками;
- showtangent — график функции и касательной линии;
- simpson — числовое приближение к интегралу по методу Симпсона;
- slope — вычисление и построение касательной к заданной точке функции;
- trapezoid — числовое приближение к интегралу методом трапеций;
- value — вычисление инертные функции.
Функции интегрирования пакета student
В пакетах Maple 15 можно найти множество специальных функций для вычисления интегралов различного типа. Например, в пакете student имеются следующие функции:
- Int(expr,x) — инертная форма вычисления неопределенного интеграла;
- Doubleint(expr,x,y,Domain) — вычисление двойного интеграла по переменным х и у по области Domain;
- Tripleint(expr,x,y,z) — вычисление тройного интеграла;
- intparts(f,u) — интегрирование по частям.
Ниже дан пример применения функции Tripleint пакета student:
Объективности ради надо отметить, что вычисление тройного интеграла с помощью функции Tripleint занимает много времени (около 20 с на компьютере с процессором Pentium II 350 МГц). ‘Однако тот же результат (см. последний пример) получается за доли секунды при использовании тройного интегрирования с помощью функции int.
Иллюстративная графика пакета student
Пакет student имеет три графические функции для иллюстрации интегрирования методом прямоугольников:
- leftbox(f(x), x=a..b, о) или leftbox(f(x), x=a..b, n, ‘shading’=<color>, о);
- rightbox(f(x), x=a..b, о) или rightbox(f(x), x=a..b, n, о);
- middlebox(f(x), x=a..b, о) или middlebox(f(x), x=a..b, n, o);
Здесь f (x) — функция переменной х, х — переменная интегрирования, а — левая граница области интегрирования, b — правая граница области интегрирования, n — число показанных прямоугольников, color — цвет прямоугольников, о — параметры (см. ?plot,options).
В этих функциях прямоугольники строятся соответственно слева, справа и по середине относительно узловых точек функции f(x), график которой также строится. Кроме того, имеется функция для построения касательной к заданной точке х = а для линии, представляющей f(x):
showtangent (f(x), x = а)
Рисунок показывает все эти возможности пакета student. Три вида графиков здесь построены в отдельных окнах.
Графические средства пакета student ограничены. Но они предоставляют как раз те возможности, которые отсутствуют в основных средствах построения графиков.
Пакет для работы с тензорами tensor
Этот пакет впервые появился в реализации Maple V R5. Он дает средства для работы с тензорами и вычислениями, используемыми в общей теории относительности. В нем использован специальный тип данных tensor_type в виде таблиц с двумя полями: компонентов и характеристик индексов. Поле компонентов — массив с размерностью, эквивалентной рангу объекта. Поле характеристик индексов задается списком чисел 1 и -1. При этом 1 на i-й позиции Означает, что соответствующий индекс контрвариантный, а -1 — что он ковариантный.
Процедура tensor_type возвращает логическое значение true, если ее первый аргумент удовлетворяет свойствам тензора, и false, если он этому свойству не удовлетворяет.
Каждому тензору соответствуют еще две таблицы. Таблица коэффициентов вращения задает коэффициенты вращения Ньюмена—Пенроуза, которые вычисляются функцией tensor[npspin] и индексируются именами греческих букв alpha, beta, gamma, epsilon и т. д. Другая таблица (компонент кривизны) содержит компоненты кривизны Ньюмена—Пенроуза. Они представлены тремя полями: полем Phi в виде массива размерности (0..2.0..2) с компонентами Риччи, поле Psi с массивом размерности (0. .4) с компонентами Вейля и полем R со скаляром Риччи.
Объявление:
> with(tensor);
[Christoffell, Christoffel2, Einstein, Jacobian, Killing_eqns, LevijCivita, Lie_diff, Ricci, Ricciscalar, Riemann, RiemannF, Weyl, act, antisymmetrize, change_basis, commutator,
compare, conj, connexF, contract, convertNP, cov_diff,
create,dlmetric, d2metric, directional_diff, displayGR, display_allGR, dual, entermetric, exteriorjiiff, exterior_prod, frame,geodesic_eqns, get_char, get_compts,get_rank, init, invars, invert, lin_com, lower, npcurve, npspin, partial_diff, permute_indices, petrov, prod, raise, symmetrize, tensorsGR, transform}
дает доступ к следующим функциям пакета:
- Christoffell — вычисление символов Кристоффеля первого рода;
- Christoffel2 — вычисление символов Кристоффеля второго рода;
- Einstein — возвращение тензора Эйнштейна;
- display_alJGR — описывает ненулевые компоненты всех тензоров и параметров, вычисленных командой tensorsGR (общая теория относительности);
- displayGR — описывает ненулевые компоненты конкретного тензора (общая теория относительности);
- Jacobian — Якобиан преобразования координат;
- Killng_eqns — вычисление компонентов для уравнений Киллинга (имеет отношение к симметриям пространства);
- LeviCivita — вычисление ковариантных и контрвариантных псевдотензоров Леви—Чивита;
- Lie_diff — вычисляет производную Ли тензора по отношению к контравариантному векторному полю;
- Ricci — тензор Риччи;
- Ricciscalar — скаляр Риччи;
- Riemann — тензор Римана;
- RiemannF — тензор кривизны Римана в жесткой системе отсчета;
- tensorsGR — вычисляет тензор кривизны в данной системе координат (общая теория относительности);
- Weyl — тензор Вейля;
- act — применяет операции к элементам тензора, таблицам вращений или кривизны;
- antisymmetrize — антисимметризация тензора по любым индексам;
- change_basis — преобразование системы координат;
- commutator — коммутатор двух контравариантных векторных полей;
- compare — сравнивает два тензора, таблицы вращений или кривизны;
- conj — комплексное сопряжение;
- connexF — вычисляет связующие коэффициенты для жесткой системы координат;
- contract — свертка тензора по парам индексов;
- convertNP — преобразует связующие коэффициенты или тензор Римана к формализму Ньюмена—Пенроуза;
- cov_diff — ковариантное дифференцирование;
- create — создает тензорный объект;
- dlmetric — первая частная производная метрики;
- d2metric — вторая частная производная метрики;
- directional_diff — производная по направлению;
- dual — осуществляет дуальную операцию над индексами тензора;
- entermetric — обеспечивает ввод пользователем координатных переменных и ковариантных компонент метрического тензора;
- externor_diff— внешнее дифференцирование полностью антисимметричного ковариантного тензора;
- exterior_prod — внешнее произведение двух ковариантных антисимметричных тензоров;
- frame — задает систему координат, которая приводит метрические компоненты к диагональной сигнатурной матрице (с положительными или отрицательными единицами);
- geodesic_eqns — уравнение Эйлера—Лагранжа для геодезических кривых;
- get_char — возвращает признак (ковариантный/контравариантный) объекта;
- getcompts — возвращает компоненты объекта;
- get_rank — возвращает ранг объекта;
- invars — инварианты тензора кривизны Римана (общая теория относительности);
- invert — обращение тензора второго ранга;
- lincom — линейная комбинация тензорных объектов;
- lower — опускает индексы;
- npcurve — компонента кривизны Ньюмена—Пенроуза в формализме Дебевера (общая теория относительности);
- npspin — компонент вращения Ньюмена—Пенроуза в формализме Дебевера (общая теория относительности);
- partial_diff — частная производная тензора;
- permute_indices — перестановка индексов;
- petrov — классификация Петрова тензора Вейля;
- prod — внутреннее и внешнее тензорные произведения;
- raise — поднятие индекса;
- symmetrize — симметризация тензора по любым индексам;
- transform — преобразование системы координат.
Примеры применения этого пакета можно найти в справочной базе данных системы. Пакет представляет интерес для физиков-теоретиков, работающих в области общей теории относительности и ее приложений/Для них (но не для большинства пользователей) приведенные данные полезны и понятны.