Преобразования Лапласа-LaplaceTransform
 
Преобразования Лапласа — важный вид интегральных преобразований. Они лежат в основе, например, символического метода расчета электрических цепей. В системе Mathematica 3 функции преобразования размещены в подпакете Laplace-Transform. Но в CKM Mathematica 8 эти функции стали встроенными.
Основными являются следующие функции этого класса:

• LaplaceTransform[expr, t, s] — возвращает результат прямого преобразования Лапласа для выражения expr [t] в виде функции переменной s;
• InverseLaplaceTransform[expr, s,t] — возвращает результат обратного преобразования Лапласа для выражения expr [s] в виде функции переменной t;
• LaplaceTransform [expr, {tl, t2,…}, {s1i, s2,…} ] — возвращает результат прямого преобразования Лапласа для выражения expr [ 11, t2,… ] в виде функции переменных {s1, s2,…};
• InverseLaplaceTransform [expr, {s1, s2,…}, {tl, t2,…} ] — возвращает результат обратного преобразования Лапласа для выражения expr [s1, s2,…] в виде функции переменных {tl, е2,…}.

Хотя имена переменных t и s можно выбирать произвольно, обычно t означает время, as — оператор Лапласа. Ниже представлено несколько примеров выполнения преобразования Лапласа: 
<<Calculus’LaplaceTransfornT’
LaplaceTransform[Exp[-t]*Sin[t], t, s]
1+1/ (1 + s)2
InverseLaplaceTransform[%,s,t]
E-tSin[t]
LaplaceTransform[t^2 Exp[-x], {t,x}, {s,v}]
2/s3(1 + v)
 
Функции z-преобразований — ZTransform
Z-преобразования широко используются в теории автоматического регулирования. Поэтому в системе Mathematica 8 для осуществления z-преобразований в ядро включены следующие функции:

• ZTransform[expr, n, z] — возвращает результат прямого 2-преобразования для выражения ехрr, представленного как функция целочисленного аргумента n;
• InverseZTransform[expr, n, z] — возвращает результат обратного z-npeобразования для выражения ехрr, представленного как функция целочисленного аргумента п.

Приведем примеры выполнения z-преобразований:
ZTransform[Cos[n], n, z]
(1-cos(1)/z)/(1+1/z2-2Cos(1)/z)
InverseZTransform[%,s,t]
Cos[n]
ZTransform[n^2 а^n, n, z]
[-a(1+a/z)/(-1+a/z)3 z
InverseZTransf orm [%, z, n] // Together
ann2
Как и следовало ожидать, прямое, а затем обратное z-преобразование выражения ехрг восстанавливает его в исходном виде. В системе Mathematica 3 эти функции становятся доступными после исполнения команды «DiscreteMath’ ZTransform’ поскольку они входят не в ядро, а в пакет расширения дискретной математики.
 
Что нового мы узнали
В этом уроке мы научились:

• Вычислять суммы в аналитическом и численном видах.
• Вычислять произведения в аналитическом и численном видах.
• Вычислять производные.
• Вычислять интегралы в символьном и численном видах.
• Вычислять пределы функций.
• Решать в аналитическом и численном видах уравнения и системы уравнений.
• Осуществлять графическую иллюстрацию решения уравнений.
• Решать дифференциальные уравнения в символьном и численном видах.
• Искать максимальное и минимальное числа в списке.
• Искать локальный максимум и минимум аналитической функции.
• Решать задачи линейного программирования.
• Выполнять преобразования Лапласа и z-преобразования.

Представление и обработка данных

• Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена
• Удаление члена с остаточной погрешностью ряда
• Графическая визуализация разложения в ряд
• Прямое и обратное дискретные преобразования Фурье
• Спектральный анализ на основе преобразования Фурье
• Фильтрация сигналов на основе преобразований Фурье
• Полиномиальная интерполяция и аппроксимация
• Регрессия и визуализация ее результатов
• Спектральный анализ таблично заданных сигналов с интерполяцией
• Моделирование нелинейных цепей с применением интерполяции

Представление и обработка данных — еще один класс математических задач, имеющих явно практическую направленность. В этом уроке мы рассмотрим ряд средств решения этих задач — начиная с общеизвестного разложения аналитических функций в ряды Тейлора и Маклорена и кончая различными видами аппроксимации, интерполяции и регрессии. Будут также затронуты прикладные вопросы применения интерполяции при спектральном анализе сигналов и моделировании нелинейных электрических и электронных цепей.

Статьи по теме

• Получение сразу нескольких корней
• Дифференциальные уравнения
• Особые случаи вычисления интегралов
• Вычисление интегралов
• Дополнительные функции для решения уравнений

Комментарии запрещены.