Warning: include(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include_once(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82

Warning: include_once(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82
Решение систем линейных уравнений | Учебники

Главная > Mathematica 8 > Решение систем линейных уравнений


Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений
Приведем также примеры на решение систем линейных уравнений матричными методами. В первом из них решение выполняется в символьном виде на основании формулы X = А -1 В, где А — матрица коэффициентов системы линейных уравнений, В — вектор свободных членов. Для перемножения используется функция Dot, а для инвертирования матрицы — функция Inverse:
A:={{a,b},{c,d}}
B:={e,f}
X:=Dot[Inverse[A],B]
X
{-de/(bc+ad) -bf/(bc+ad)- ce/(bc+ad) -af/(bc+ad)}
Во втором примере для решения системы линейных уравнений используется функция LinearSolve:
LinearSolve[{{l,2},{3,4}},{7,9}]
{-5, 6}
Нередко, например в электротехнических расчетах, встречается необходимость решения систем линейных уравнений с комплексными элементами. Все описанные выше функции обеспечивают работу с комплексными числами. Следующий пример иллюстрирует решение системы линейных уравнений с комплексными данными:
А={ U+2I,2+3I},{3+4I,4+5I}}
{{1+21, 2 + 31}, {3 + 41, 4+ 51}}
В={21,3}
{21,3} X=LinearSolve[А,В]
{1/4-41, 11I/4}
Число матричных функций в системе Mathematica 3/4 ограничено разумным минимумом, позволяющим реализовать множество других, более сложных матричных функций и преобразований. Их можно найти в пакетах расширения системы, посвященных линейной алгебре.
Что нового мы узнали
В этом уроке мы научились:

  • Использовать основные классы данных системы Mathematica.
  • Выполнять арифметические вычисления.
  • Применять встроенные и пользовательские функции.
  • Получать данные об объектах.
  • Осуществлять подстановки.
  • Работать со списками.
  • Создавать массивы, векторы и матрицы.
  • Пользоваться функциями линейной алгебры

 

Операции математического анализа

  • Вычисление сумм
  • Вычисление произведений
  • Вычисление производных
  • Вычисление интегралов
  • Вычисление пределов функций
  • Решение уравнений и систем уравнений
  • Решение дифференциальных уравнений
  • Поиск максимального и минимального чисел в списке
  • Поиск максимума и минимума функции
  • Решение задач линейного программирования
  • Преобразования Лапласа
  • Z-преобразования

В этом уроке описаны основные операции математического анализа, детали которых можно найти в любом справочнике по высшей математике. Эти операции чаще всего используются при проведении математических и научно-технических расчетов и потому описаны достаточно полно
Вычисление сумм
 
Вычисление сумм в аналитическом виде
В числе операций математического анализа прежде всего надо отметить суммы
Сумма от i=min до imax по fi
В этих операциях индекс i принимает целочисленные значения от минимального (начального) imin до максимального (конечного) imax с шагом, равным +1.
Суммы и произведения легко вычисляются численными математическими системами, такие вычисления просто описываются на всех языках программирования. Однако важным достоинством систем символьной математики, включая Ма-thematica, является вычисление сумм и произведений в аналитическом виде (если это возможно) и при большом числе членов — вплоть до стремящегося к бесконечности.
Для вычисления сумм в системе Mathematica предусмотрена функция Sum, используемая в ряде форм:

  • Sum [ f, {i, imax} ] — вычисляет сумму значений f при изменении индекса i от 1 до imax с шагом +1;
  • Sum[f, {i, imin, imax}]—вычисляет сумму значений f при изменении индекса i от минимального значения i=imin до максимального i=imax с шагом +1;
  • Sum[f, {i, imin, imax, di}]— вычисляет сумму значений f при изменении управляющей переменной вещественного типа от минимального значения i=imin до максимального i=imax с шагом di;
  • Sum[f, {i, imin, imax}, {j, jmin, jmax},…] — вычисляет многократную сумму значений f при изменении индексов i от imin до imax с шагом +1, j от jmin до jmax с шагом +1 и т. д. (число индексов не ограничено).

Таким образом, эта функция обеспечивает расширенные возможности вычисления сумм — как при целочисленных, так и при вещественных значениях управляющих переменных, задающих циклы вычислений. Примеры использования функций суммирования:
Sum[i^2,{i,10}]
385
Sum[i*2,{i,l,10}]
385
Sum[i^2, {1,1,2,0.25}]
11.875
Sum[i*j, {i,1,10},{j, 2, 5}]
770
В последнем примере использована стандартная форма вывода — при ней функция суммирования представляется в виде оператора суммирования.
Обычно в математических системах недопустима перестановка imin и imax, хотя в математике известно школьное правило — от перестановки слагаемых сумма не изменяется. Рискнем проверить это:
Sum[i,{i, 1,100}]
5050
Sum[i, {1,100,1}]
0
Sum[i, {1,100, 1,-1}]
5050
Второй пример тут дал явно ошибочный результат, хотя третий с честью оправдал указанное правило.
Не применяйте установки параметров, противоречащие синтаксису записи той или иной функции — в частности, Sum. Это чревато возникновением серьезных ошибок.
Приведем еще ряд примеров выполнения операции суммирования:
Sum[ xn/n! , {n, 0, 8}]
1+X+X2/2 X3/6 X4/24 X5/120 X6/720 X7/5040 X8/40320
Sum[xn/n! , {n, 1, 9, 2}]
X+X3/3 X5/120 X7/5040 X9/362880
Sum[xi yi , {i, 1, 4},{j, 1, i}]
xy+ x2 у + x3 у + x4 у + x2:/2 + x3 у2 + x4y2 + x3 у3 + x4 у3 + x4y4
Sum[1/n*n , {n, 1, бесконечность}]
л2/6
Sum[i4 {i, 1, n}]
1/30n(1-n)(1+2n) (-l + 3n+3n2)
1/3(3 — 3 EulerGamma + 2 n + n3) — PolyGamma[0, 2 + n]

Из этих примеров видно, что Mathematica 3/4 обеспечивает возможность символьного вычисления сумм, в том числе с бесконечным пределом суммирования. Вычисляются даже суммы, выраженные через специальные математические функции (см. последний пример). При этом для вычисления сумм в символьном виде, в отличие от предшествующих версий Mathematica, уже не требуется загрузка специального пакета для расширенных (символьных) операций с суммами.

Статьи по теме

Комментарии запрещены.