Warning: include(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include_once(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82

Warning: include_once(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82
Специальные математические функци | Учебники

Главная > Mathematica 8 > Специальные математические функци


Специальные математические функци

Специальные математические функци
·  Ортогональные многочлены
·  Интегральные показательные и родственные им функции
·  Гамма-и полигамма-функции
·  Функции Бесселя
·  Гипергеометрические функции
·  Эллиптические интегралы и интегральные функции
·  Функции Эйри
·  Бета-функция и родственные ей функции
·  Специальные числа и полиномы
Специальные математические функции являются решениями линейных дифференциальных уравнений специального вида или представлениями особых интегралов, которые не могут быть выражены через элементарные функции. Здесь не приводятся определения специальных математических функций ввиду их общеизвестности и наличия соответствующей информации в справочной базе данных систем Matheraatica.
К сожалению, входной язык общения с системами Mathematica 3/4 не предусматривает использования греческих букв для имен специальных функций (хотя палитра с такими буквами есть), и их имена задаются английскими словами. Специальные математические функции удобно подразделять на несколько групп, представленных ниже.
 
Ортогональные многочлены
Одними из широко распространенных специальных функций являются ортогональные многочлены (полиномы). Mathematica имеет следующие функции, возвращающие значения ортогональных многочленов:

  • ChebyshevT [n, х] — полином Чебышева п-й степени первого рода;
  • CyebyshevU [n, x] — полином Чебышева п-йстепени второго рода;
  • HermiteH[n, х] — полином Эрмита п-йстепени;
  • JacobiP[n, a, b, х] — полином Якоби п-й степени;
  • ‘GegenbauerC [n, m, х] — полином Гегенбауэра;
  • LaguerreL[n, х] — полином Лагерра n-й степени;
  • LaguerreL[n, а, х] — обобщенный полином Лагерра п-й степени;
  • LegendreP [n, х] — полином Лежандра n-й степени;
  • LegendreP [n, m, x] — присоединенный полином Лежандра;
  • LegendreQ [n, z] — функция Лежандра второго рода n-го порядка;
  • LegendreQ [n, m, z] — присоединенная функция Лежандра второго рода.

LegendreType — опция для функций LegendreP и LegendreQ; она указывает выборы разрывов кривой для функций Лежандра на комплексной плоскости.
Все ортогональные полиномы имеют простые рекуррентные представления. Поэтому приведенные выше функции вычисляются по ним довольно быстро и точно. Они находят широкое применение в технике интерполяции и аппроксимации функций.
Следующие примеры иллюстрируют работу с ортогональными многочленами.

Ввод (In)

Вывод (Out)

ChebyshevT [ 8, х]

1 — 32 x 2 + 160 x 4 — 256 x 6 + 128 x 8

ChebyshevT [5, 0.2]

0.84512

ChebyshevU [3,0. 15]

-0.573

HermiteH[4,3]

876

JacobiP[3,l,2,0.2]

-0.256

GegenbauerC [ 3 , 1 , x]

-4 x + 8 x 3

N [LaguerreL [3,x]]

0.166667 (6. -18. x+ 9. x 2 — 1. X 3 )

LegendreP [ 5 , x ]

15 x /6-35 x 3 /4+63 x 5 /8

LegendreQ[2,0.2]

-0.389202

Важно отметить, что при указании конкретного значения параметра п и символьном значении параметра х функции этой группы возвращают присущие им представления через степенные многочлены с соответствующими коэффициентами.
На показаны графики ортогональных полиномов Чебышева ChebyshevT и ChebyshevU. Для этих полиномов характерно изменение от -1 до +1 при \х\<1, причем при высоком порядке полиномов графики функций имеют колебательный характер.
Графики функций полиномов Лагерра LaguerreL и Лежандра LegendreP показаны на. Они дают представление о поведении этих функций.
На представлены графики полиномов Лежандра LegendreQ.
 
Интегральные показательные и родственные им функции
К другой известной группе специальных функций относятся интегральные показательные и родственные им функции:

  • Coshlntegralfx] — гиперболический интегральный косинус;
  • Coslntegral [х] — интегральный косинус С1(х);
  • Erf [z] — функция ошибок (интеграл вероятности);
  • Erf[z0, zl] — обобщенная функция ошибок erf (zl)-erf (z0);
  • Erf с [z] — дополняющая функция ошибок 1-erf (z);
  • Erfi [z] — мнимое значение функции ошибок erf (iz) /i;
  • ExplntegralE [n, z] — интегральная показательная функция Е(п,z);
  • ExplntegralEi[z] — интегральная показательная функция Ei(z);
  • Loglntegral [z] — интегральный логарифм li(z);
  • Sinhlntegral [x] — интегральный гиперболический синус;
  • Sinlntegral [х] — интегральный синус 81(лг).

Ниже представлены примеры применения этих функций.

Ввод (In)

Вывод (Out)

Coshlntegral[1.]

0.837867

Coslntegral [1 . ]

0.337404

Erf[l.]

0.842701

Erf [2. +1*3.]

-20.8295 + 8.68732 I

Erf[2.,3.]

0.00465564

Erfc[l.]

0.157299

Erfi[l.]

1.65043

ExplntegralE [3,1.]

0.109692

ExpIntegralEi [1 . ]

1.89512

Loglntegral [2 . +3 . *I ]

2.3374 + 2.51301 I

Sinhlntegral [1 . ]

1.05725

Sinlntegral [1 . ]

0.946083

На представлены графики ряда интегральных показательных функций, дающие представление об их поведении при вещественном аргументе.

Следует обратить внимание на то, что большая часть этих функций может иметь комплексный аргумент. Для получения численных значений функций нужно задавать аргумент в форме вещественного числа или 1 комплексного числа с вещественными действительной и мнимой частями.

Статьи по теме

Комментарии запрещены.