Warning: include(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include_once(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82

Warning: include_once(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82
численные | Учебники

Записи с меткой «численные»

Построение гистограмм

Построение гистограмм
Ряд функций служит для подготовки данных с целью построения гистограмм:

  • Frequencies [list] — готовит данные для представления частотной гистограммы;
  • QuantileForm[list] — дает отсортированные данные для представления квантилей;
  • CumulativeSums [list] — дает кумулятивное суммирование данных списка.

Пример построения гистограммы по данным списка из двойных элементов с помощью функции Frequencies дан на. Для построения графика при этом использована функция BarChart из пакета расширения Graphics.
Для подготовки гистограмм могут использоваться и следующие функции:
BinCounts[data,{min,max,dx}]
RangeCounts [data, {cl, c2,…} ]
CategoryCounts [data, {el, e2,…} ]
BinLists[data,{min,max,dx}]
RangeLists [data, {cl,c2,…} ]
CategoryLists [data, {el, e2,…} ]
С примерами их работы можно ознакомиться по справочной системе Mathenatica, содержащей полное описание данного подпакета.
 
Статистика распределений — DescriptiveStatistics
В подпакете DescriptiveStatistics сосредоточены наиболее важные функции по статистике распределений:

  • CentralMoment (data, r) — возвращает центральный момент данных data порядка r;
  • Mean [data] — возвращает среднее значение данных data;
  • MeanDeviation [data] — возвращает среднее отклонение данных;
  • Median [data] — возвращает центральное значение (медиану) данных;
  • MedianDeviation [data] — возвращает абсолютное отклонение (от медианы) данных;
  • Skewness [data] — возвращает коэффициент асимметрии данных;
  • StandardDeviation [data] — возвращает стандартное отклонение данных;
  • GeometricMean [data] — возвращает геометрическое среднее данных;
  • HarmonicMean [data] — возвращает гармоническое среднее данных;
  • RootMeanSquare [data] — возвращает среднеквадратичное значение данных;
  • Quantile [data, q] — возвращает q-й квантиль;
  • InterpolatingQuantile [data, q] — возвращает q-й квантиль, используя при вычислениях интерполяцию данных;
  • VarianceData [data] — возвращает среднеквадратичное отклонение данных.

Мы не приводим определений этих функций, поскольку при символьных данных data их легко получить именно в том виде, который реализован в системе Mathematica:
ds={xl,x2,x3} {xl, x2, хЗ}
Mean[ds]
1/3 *(xl + x2 + x3)
MeanDeviation[ds]
1/3 (Abs[xl + — (-xl-x2-x3)] +
Abs[x2+ 1/3 (-xl-x2-x3) + Abs 1/3[-xl-x2-x3) +хЗ])
Median[ds]
x2
Variancefds]
1/2((x1+1/3(-xl + x2 — x3))2 + (x2 + 1/3 (-xl-x2-x3))2 + (— (-xl-x2-x3) + x3)2)
Skewness[ds]
(SQRT(3) ( (xl 4- -1 (-xl — x2 — x3))3 +
(x2+1/3 (-xl-x2-x3))3 + (1/3 (-xl -x2- x3) + x3))2 /
(x2+ 1/3 (-xl-x2-x3))2 +(1/3 (-xl-x2-x3) +х3)2 )^(3/2)
Следующие примеры поясняют действие этих функций при обработке численных данных:
<<Statistics’DescriptiveStatis tics’
data:={10.1,9.6,11,8.2,7.5,12,8.6,9}
CentralMoment[data,2]
1.9525
Mean[data]
9.5
MeanDeviation[data]
1.175
Median[data]
9.3
MedianDeviation[data]
0.95
Skewness[data]
0.374139
StandardDeviation[data]
1.4938
GeometricMean[data]
9.39935
HarmonicMean[data]
9.30131
RootMeanSquare[data]
9.60221
Quantile[data,1]
12
InterpolatingQuantile[data,1]
InterpolatingQuantile[
{10.1, 9.6, 11, 8.2, 7.5, 12, 8.6, 9), 1]
Variance[data]
2.23143

С рядом других, менее распространенных функций этого подпакета можно ознакомиться с помощью справочной системы. Там же даны примеры их применения.

Численное вычисление остатка — N Residue

Численное вычисление остатка — N Residue
В подпакете NResidue имеется функция вычисления остатка NResidue [expr, {x, x0} ] в точке х=х0:
<<NumericalMath` NResidue`
NResidue[1/z, {z, 0}]
1. + 6.35614x 10-18 I
Residue[f, {z, 1.7}]
0
NResidue[f, {z, 1.7}]
0.259067 — 1.9353xl0-17I
l/((z+.2+.5 I)(z+.2-.5 I)) /. z -> 1.7
0.259067 + 0. I
Options[NResidue]
Обратите внимание на возможные опции для этой функции в последнем примере.
Численное разложение в ряд — NSeries
Подпакет NSeries вводит функцию NSeries [f, {x,xO,n}], которая дает численный ряд, аппроксимирующий функцию f(x) в окрестности точки х = х 0 , включая термы от (х -х 0 ) -n до (х — х 0 ) п .
Примеры применения данной функции:
<<NumericalMath`NSeries`
NSeries[Sin[х], {х, -2, 2}]
Rationalize[Chop[%]]
Rationalize[Chop[NSeries[Log[x], {x, 1, 5}, Radius -> 1/8]]]
Rationalize[Chop[NSeries[Exp[x], {x, 0, 5},
WorkingPrecision -> 40, Radius -> 1/8]]]
Rationalize[Chop[NSeries[Exp[x], {x, 0, 5}, Radius -> 4]]]
Chop[NSeries[Zeta[s], {s, 1, 3}]]
 
Вычисление коэффициентов формулы интегрирования Ньютона—Котесса — NewtonCotes
Функция NIntegrate, имеющаяся в ядре системы Mathematica, реализует метод интегрирования Гаусса—Кронрода. Еще одним известным методом интегрирования является метод Ньютона—Котесса, сводящий интегрирование к вычислению взвешенных ординат функции в равномерно расположенных точках оси абсцисс. Для реализации метода используются следующие функции:

  • NewtonCotesWeights [n, a, b] — возвращает список весовых коэффициентов и абсцисс узловых точек {wi, xi} для квадратуры Ньютона—Котесса на интервале от а до b;
  • NewtonCotesError [n, f, a, b] — возвращает погрешность формулы Ньютона—Котесса для заданной функции f.

Примеры применения этих функций представлены ниже:
<<NumericalMath` NewtonCotes`
NewtonCotesWeights[5, 0, 10]
NewtonCotesError[5, f, 0, 10]
NewtonCotesError[5, f, a, a+h]
NewtonCotesWeights[5, -0, 10, QuadratureType -> Open]
NewtonCotesError[5, f, 0, 10, QuadratureType -> Open]

Обратите внимание на то, что приведенные формулы готовят данные для численного интегрирования методом Ньютона—Котесса, но не выполняют самого интегрирования.

Реализация интервальных методов — IntervalRoots

Реализация интервальных методов —IntervalRoots
Иногда важно не найти приближенное значение корня, а уточнить интервал, в котором он находится. В подпакете IntervalRoots для этого используется ряд известных методов, реализованных следующими функциями:

  • IntervalBisection [f ,x, int, eps] — находит корень функции f(x) путем уточнения исходного интервала int с заданной погрешностью eps методом половинного деления;
  • IntervalSecant [f ,x, int, eps] — находит корень функции f(x) путем уточнения исходного интервала int с заданной погрешностью eps методом секущей;
  • IntervalNewton [ f, x, int, eps ] — находит корень функции/(x) путем уточнения исходного интервала int с заданной погрешностью eps методом Ньютона (касательной).

Во всех функциях можно опциями задать максимальное число рекурсий (Max-Recursion) и погрешность (WorkingPrecision). Примеры применения этих функций даны ниже:
<<NumericalMath`IntervalRoots`
IntervalBisection[Sin[x], x, Interval[{2., 8.}], .1]
Interval[{3.125, 3.218750000000001}, {6.218750000000003, 6.312500000000006}]
IntervalBisection[Sin[x], x, Interval[{2., 8.}], .01]
Interval[{3.125, 3.17188}, {6.26563, 6.3125}]
IntervalBisection[Sin[x], x, Interval[{2., 8.}], .01, MaxRecursion -> 10]
Interval[{3.13672, 3.14258}, {6.27734, 6.2832}]
IntervalSecant[Sin[x], x, Interval[{2., 8.}], .01]
Interval[{3.14159, 3.1416}, {6.28316, 6.28321}]
IntervalSecant[Sin[x], x, Interval[{2., 8.}], .01]
Interval[{3.14159, 3.1416}, {6.28316, 6.28321}]
IntervalBisection[Sin[x], x,
Interval[{2, 8}], .1, WorkingPrecision -> Infinity]
 
Табличное численное интегрирование — Listlntegrate
Встроенная в ядро функция NIntegrate вычисляет определенные интегралы при известной подынтегральной функции. Однако нередко, например при экспериментах, такая функция задается таблицей или списком значений. В подпакете List-Integrate имеются функции для решения этой задачи — табличного интегрирования:

  • Listlntegrate [ {yl, y2,…, yn} ,h] — возвращает численное значение интеграла для функции, заданной списком ординат yi при заданном шаге h по х;
  • Listlntegrate [ {yl, y2,…, yn}, h, k] — возвращает численное значение интеграла для функции, заданной списком ординат yi при заданном шаге h по х, используя k точек каждого подинтервала;
  • Listlntegrate [ {{xl, yl}, {х2, у2 },…, {хп, уп}}, k] — возвращает численное значение интеграла для функции, заданной списком координат {х.., у.}. используя k точек для каждого подынтервала.

Примеры применения данной функции:
<<NumericalMath`Listlntegrate`
data = Tablet n^2, {n, 0, 7}]
{0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49}
ListIntegrate[data, 1]
343/3
Listlntegrate[{{0,0},{1,1},{2,4},{5,25},{7,49}},2] 241/2
При проведении интегрирования для данных, заданных таблично, можно использовать интерполяцию:
арр = Listlnterpolation[data,{{0,7}}] Integrate[app[x],{x,0,7}]
343/3
Integrate[Interpolation[{{0,0},{1,1},{2,4}, {5,25}, {7,49}},
InterpolationOrder->l][x],{x,0,7}]
241/2
 
Численное вычисление пределов — NLimit
В подпакете N limit определена функция
Nlimit[expr,х->х0]
для численного вычисления пределов выражений ехрг (см. примеры ниже):
<<NumericalMath` NLimit`
NLimit[Zeta[s] — l/(s-l), s->l]
0.577216
N[EulerGamma]
0.577216
С помощью команды Options [NLimit] можно просмотреть опции, которые используются функцией NLimit по умолчанию. В этом подпакете задано также вычисление бесконечных сумм Эйлера EulerSum[f, { i, imin, Infinity} ]. Например:
EulerSum[(-l)^k/(2k + 1) , {k, 0, Infinity}]
0.785398
EulerSumt(-1)^k/(2k +1), {k, 0, Infinity},
WorkingPrecision->40, Terms->30, ExtraTerms->30]
0.78539816339744830961566084579130322540
%- N[Pi/4, 40]
-2.857249565x 10-29
Имеется также функция вычисления производной в численном виде:

  • ND [ f, х, хО] — вычисляет первую производную f(x) в точке х0;
  • ND[f, {x,n} ,х0] — вычисляет п-ю производную f(X) в точке х0. Пример вычисления производной:

ND[Exp[Sin[x]], х, 2]
-1.03312
Options[ND]
{WorkingPrecision-> 16, Scale-> 1, Terms-> 7, Method-> EulerSum]

В некоторых случаях вычисления могут быть ошибочными. Тогда следует использовать опции — особенно опцию выбора метода Method. Помимо метода по умолчанию (EulerSum) можно использовать NIntegrate (метод интегрирования по формуле Коши).

Тета-функция Зигеля

Тета-функция Зигеля
Подпакет SiegelTheta содержит еще одну редкую функцию:

  • SiegelTheta [z, s] — возвращает значение тета-функции Зигеля Q(Z, s).

Примеры вычисления этой функции даны ниже:
<< NumberTheory` SiegelTheta`
SiegelTheta[{1+1,2+1}, {2+1,-1+41}, {1.2, 2.3+.3I}]
0.973715-0.0002970481
Sum[E^(Pi I {tl,t2}.{ {1+1,2+1}, {2+1, -1+41} }.{tl,,t2} +
2 Pi I {tl,t2}.{l.2,2.3+.31}), {tl,-10,10>, {t2,-10,10}]
0.973715 — 0.000297048 I
В заключительной части этого примера дано вычисление тета-функции Зигеля по ее исходному определению.
Численные расчеты — пакет NumericalMath
 
Пакет расширения NumericalMath содержит множество полезных функций для тех, кто имеет дело с численными расчетами. В их числе функции для выполнения высокоточных аппроксимаций рациональными функциями, численного интегрирования и дифференцирования, вычисления пределов функций, решения уравнений, разложения в ряд и т. д. Ниже описано подавляющее большинство функций этого расширения. Исключены лишь отдельные функции, представляющие ограниченный интерес и несложные для самостоятельного изучения (в подпаке-mах Butcher, Microscope и ComputerArithmetic).
Аппроксимация аналитических функций — Approximations
Подпакет Approximations содержит ряд функций для улучшенной рациональной аппроксимации аналитических функций. Для рациональной интерполяции и аппроксимации функций по заданным значениям абсцисс служит следующая функция:

  • Rationallnterpolation [f, {x,m, k}, {x 1 , x 2 , …,.x m+k+1 } ] — возвращает аппроксимирующее функцию f выражение в виде отношения полиномов а степенью полинома числителя m и знаменателя k в абсциссах, заданных списком {x l ,x 2 ,…,x m+jt+1 }.

Пример применения этой функции:
<<NumericalMath `Approximations`
ril = Rationallnterpolation[ Exp[x], {х, 2, 4}, {0, 1/3, 2/3, 1, 4/3, 5/3, 2}]
Построим график погрешности аппроксимации, то есть график разности функ ии ril и Ехр [х] — он представлен.
Нетрудно заметить, что если в центральной части области аппроксимации погрешность мала (менее 5-10- 7 ), то у правого края она резко возрастает.
Представленная функция может использоваться и в иной форме:
Rationallnterpolation[f,{х, m, k},{x, xmin, xmax}]
В данном случае выбор абсцисс осуществляется автоматически в интервале от xmin до mах. В отличие от первого случая, когда абсциссы могли быть расположены неравномерно, в данном случае расположение их будет равномерным. Приведем пример аппроксимации функции синуса в интервале от n до n:
ri2 = RationalInterpolation[Sin[x],{x,3,4},{x,-Pi,Pi}]
Интересно оценить погрешность аппроксимации. далее…

Вычисление сумм в численном виде

Вычисление сумм в численном виде
Для вычисления сумм в численном виде используются следующие функции:

  • NSum[f, {i, imin, imax }]— возвращает численное значение суммы f [ i ] при i, изменяющемся от imin до imax с шагом +1;
  • NSumff, {i, imin, imax, di }]— возвращает сумму численных значений функции f [i] при i, изменяющемся от imin до imax с шагом di;
  • NSum[f, {i, imin, imax}, {j, jmin, j max },…]— выполняет многомерное суммирование. Функция NSum[… ] эквивалентна выражению N[Sum[…] ].

Особенностью этой функции является возможность использования ряда опций, управляющих вычислительным процессом. Одной из них является NSumTerms, задающая число членов, которые явно должны быть включены в сумму перед экстраполяцией. Вы можете просмотреть список опций, используя команду Options [NSum] . 
Пример применения функции NSum представлен ниже:
NSum[1/i3, {i, 1, бесконечность}]
1.20206
Пример точного вычисления суммы (для сравнения) с помощью функции Sum:
truesum = Sum [1+k/ 2k k/ 3k{k, 1, 50}
1818632874295681087853745424762603034467 / 808281277464764060643139600456536293376
N[%]
2.25
Пример вычисления той же суммы с помощью функции NSum с опциями:
NSum [ 1+k/ 2 k -3k, {k, 1, 50}, Method -> SequenceLimit,
NSumTerms -> 2 , NSumExtraTerms -> 4 ] — truesum
0.0530365
При следующем наборе опций результат еще лучше:
NSum [ 1+k/ 2 k -3k, {k, 1, 50}, Method -> SequenceLimit, WorkingPrecision -> 30 , NSumTerms -> 2 ,
NSumExtraTerms -> 10, WynnDegree -> 4] — truesum
0.x10-26
Функция вычисления суммы NSum выполняется заметно быстрее, чем функция Sum, хотя на практике заметить это трудно — все приведенные выше примеры выполняются за доли секунды. Возвращаемый функцией NSum результат вещественный.
 
Вычисление произведений
 
Вычисление произведений в аналитическом виде
Операции вычисления произведений
Произведение от i=imin до i=imax по fi представлены следующими функциями:

  • Product [f, {i, imax}] — возвращает произведения значений f [i] для значений i, изменяющихся от 1 до imax;
  • Product [f, {i, imin, imax}]—возвращает произведение значений f [ i ] при изменении i от imin до imax с шагом +1;
  • Product[f, {i, imin, imax, di}] — возвращает произведение f [ i ] при i, меняющемся от значения imin до значения imax с шагом di;
  • Product [f, {i, imin, imax}, {j, jmin, jmax},…] — вычисляет многократное произведение (произведение по нескольким переменным).

Примеры использования функций вычисления произведения.

Ввод (In)

Вывод (Out)

Product [i,{i ,10}]

3628800

NProduct [k ^ 2,{k, 1,5}]

14400.

NProduct[i ^ 2, {1,1,2,0. 2}]

93.6405

Product [Logfi], {±,2,5,0.5}]

4.23201 Log[2]

Следующий пример иллюстрирует вычисление произведения в символьном виде:
Произведение (x+i2) , где i=1…5
(1+х) (4 + х) (9 + х) (16 + х) (25 + х)
Об опасности перестановки сомножителей свидетельствуют следующие примеры: Product [i, i,l, 10] 3628800
Product [i,i, 10,1]
1
Product[i,i,10,l,-l]
3628800
Как и в случае вычисления суммы, средний пример явно ошибочен. далее…

Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений
Приведем также примеры на решение систем линейных уравнений матричными методами. В первом из них решение выполняется в символьном виде на основании формулы X = А -1 В, где А — матрица коэффициентов системы линейных уравнений, В — вектор свободных членов. Для перемножения используется функция Dot, а для инвертирования матрицы — функция Inverse:
A:={{a,b},{c,d}}
B:={e,f}
X:=Dot[Inverse[A],B]
X
{-de/(bc+ad) -bf/(bc+ad)- ce/(bc+ad) -af/(bc+ad)}
Во втором примере для решения системы линейных уравнений используется функция LinearSolve:
LinearSolve[{{l,2},{3,4}},{7,9}]
{-5, 6}
Нередко, например в электротехнических расчетах, встречается необходимость решения систем линейных уравнений с комплексными элементами. Все описанные выше функции обеспечивают работу с комплексными числами. Следующий пример иллюстрирует решение системы линейных уравнений с комплексными данными:
А={ U+2I,2+3I},{3+4I,4+5I}}
{{1+21, 2 + 31}, {3 + 41, 4+ 51}}
В={21,3}
{21,3} X=LinearSolve[А,В]
{1/4-41, 11I/4}
Число матричных функций в системе Mathematica 3/4 ограничено разумным минимумом, позволяющим реализовать множество других, более сложных матричных функций и преобразований. Их можно найти в пакетах расширения системы, посвященных линейной алгебре.
Что нового мы узнали
В этом уроке мы научились:

  • Использовать основные классы данных системы Mathematica.
  • Выполнять арифметические вычисления.
  • Применять встроенные и пользовательские функции.
  • Получать данные об объектах.
  • Осуществлять подстановки.
  • Работать со списками.
  • Создавать массивы, векторы и матрицы.
  • Пользоваться функциями линейной алгебры

 

Операции математического анализа

  • Вычисление сумм
  • Вычисление произведений
  • Вычисление производных
  • Вычисление интегралов
  • Вычисление пределов функций
  • Решение уравнений и систем уравнений
  • Решение дифференциальных уравнений
  • Поиск максимального и минимального чисел в списке
  • Поиск максимума и минимума функции
  • Решение задач линейного программирования
  • Преобразования Лапласа
  • Z-преобразования

В этом уроке описаны основные операции математического анализа, детали которых можно найти в любом справочнике по высшей математике. Эти операции чаще всего используются при проведении математических и научно-технических расчетов и потому описаны достаточно полно
Вычисление сумм
 
Вычисление сумм в аналитическом виде
В числе операций математического анализа прежде всего надо отметить суммы
Сумма от i=min до imax по fi
В этих операциях индекс i принимает целочисленные значения от минимального (начального) imin до максимального (конечного) imax с шагом, равным +1.
Суммы и произведения легко вычисляются численными математическими системами, такие вычисления просто описываются на всех языках программирования. Однако важным достоинством систем символьной математики, включая Ма-thematica, является вычисление сумм и произведений в аналитическом виде (если это возможно) и при большом числе членов — вплоть до стремящегося к бесконечности. далее…