Записи с меткой «численные»

Основные понятия линейной алгебры

Основные понятия линейной алгебры
Массивы, в основном в виде векторов и матриц, широко применяются при решении задач линейной алгебры. Прежде чем перейти к рассмотрению возможностей Mathematica в части решения таких задач, рассмотрим краткие определения, относящиеся к линейной алгебре.
Матрица — прямоугольная двумерная таблица, содержащая m строк и п столбцов элементов, каждый из которых может быть представлен числом, константой, переменной, символьным или математическим выражением (расширительная трактовка матрицы).
Квадратная матрица — матрица, у которой число строк m равно числу столбцов п. Пример квадратной матрицы размером 3×3:
1  2  3
4  5  6
7  8  9
Сингулярная (вырожденная) матрица — квадратная матрица, у которой детерминант (определитель) равен 0. Такая матрица обычно не упрощается при символьных вычислениях. Линейные уравнения с почти сингулярными матрицами могут давать большие погрешности при решении.
Единичная матрица — это квадратная матрица, у которой диагональные элементов равны 1, а остальные элементы равны 0. Ниже представлена единичная матрица размером 4×4: 

 

 

1

0

0

0

 

 

0

1

0

0

E

=

0

0

1

0

 

 

0

0

0

1

Транспонированная матрица — квадратная матрица, у которой столбцы и строки меняются местами. Приведем простой пример.
Исходная матрица:

 

 

a

b

c

A

=

d

e

f

 

 

i

k

l

Транспонированная матрица:

 

 

a

d

i

А т

=

b

e

k

 

 

c

f

l

Обратная матрица — это матрица М -1 , которая, будучи умноженной на исходную квадратную матрицу М, дает единичную матрицу Е.
Ступенчатая форма матрицы соответствует условиям, когда первый ненулевой элемент в каждой строке есть 1 и первый ненулевой элемент каждой строки появляется справа от первого ненулевого элемента в предыдущей строке, то есть все элементы ниже первого ненулевого в строке — нули. далее…