Записи с меткой «график»

Типовые средства программирования

Типовые средства программирования.

Функции пользователя
Упрощенные функции пользователя
Хотя ядро Maple 15, библиотека и пакеты содержат свыше 3000 функций, всегда может оказаться, что именно нужной пользователю (и порою довольно простой) функции все же нет. Тогда возникает необходимость в создании собственной функции, именуемой функцией пользователя. Начнем описание с обычных функций пользователя, задающих некоторую зависимость от одной или ряда переменных в явном виде.
Основным средством расширения Maple-языка являются модули — процедуры. Однако на первый взгляд они довольно сложны. Есть и более простые способы задания функций пользователя. Один из таких способов заключается просто в присваивании введенной функции (в виде выражения) некоторой переменной: Name:-выражение
Этот прием фактически означает просто операцию присваивания. Следующие примеры иллюстрируют технику работы с такими функциями:

Заданный таким образом объект все же не является полноценной функцией пользователя, и прежде всего потому, что в нем используются только глобальные переменные (х и у) и нет объявленного списка параметров, от которых зависит значение функции. далее…

Функции комплексного аргумента

Функции комплексного аргумента
Для комплексных чисел и данных, помимо упомянутых в предшествующем разделе, определен следующий ряд базовых функций:

  •  argument — аргумент комплексного числа; 1
  •  conjugate — комплексно-сопряженное число;
  •  Im — мнимая часть комплексного числа;
  •  Re — действительная часть комплексного числа;
  •  роlаг — полярное представление комплексного числа (библиотечная функция).

Примеры применения:

Специальные математические функции
Специальные математические функции обычно являются решениями линейных дифференциальных уравнений различного типа и выражаются в виде интегралов, не представимых через элементарные функции. Maple 15 имеет практически полный набор таких функций. Их представления можно найти в справочной литературе, а также в справочной базе данных Maple. В связи с этим ограничимся приведением названий наиболее важных специальных функций:

  •  AiryAi (Bi) — функции Эйри;
  • AngerJ — функция Ангера;
  •  bernoulli — числа и полиномы Бернулли;
  •  Bessel I (J, К, Y) — функции Бесселя разного рода;
  •  Beta — бета-функция;
  •  binomial — биноминальные коэффициенты;
  •  Chi — интегральный гиперболический косинус;
  •  Ci — интегральный косинус;
  •  csgn — комплексная сигнум-функция;
  •  dilog — дйлогарифм;
  •  Dirac — дельта-функция Дирака;
  •  Ei — экспоненциальный интеграл;
  •  EllipticCE (CK, CPi, E, F, К, Modulus, Nome, Pi) — эллиптические интегралы;
  •  erf — функция ошибок;
  •  erfc — дополнительная функция ошибок;
  •  euler — числа и полиномы Эйлера;
  •  FresnelC (f, g, S) — интегралы Френеля;
  •  GAMMA — гамма-функция;
  •  GaussAGM — арифметико-геометрическое среднее Гаусса;
  •  HankelHl (H2) — функции Ганкеля;
  •  harmonic — частичная сумма серии гармоник;
  •  Heaviside — функция Хевисайда;
  •  JacobiAM (CN, CD, CS, ON, DC, DS, NC, NO, NS, SC, SO, SN) — эллиптические функции Якоби;
  •  JacobiThetal (2, 3, 4) — дзета-функции Якоби;
  •  JacobiZeta — зет:функция Якоби;
  •  KelvinBer (Bei, Her, Hei, Ker, Kei) — функции Кельвина;
  •  Li — логарифмический интеграл;
  •  1nGAMMA — логарифмическая гамма-функция;
  •  MeijerG — G-функция Мейджера;
  •  pochhammer — символ Похгамера;
  •  polylog — полилогарифмическая функция;
  •  Psi — дигамма-функция;
  •  Shi — интегральный гиперболический синус;
  •  Si — интегральный синус;
  •  Ssi — синусный интеграл смещения;
  •  StruveH (L) — функции Струве;
  •  surd — неглавная корневая функция;
  •  LambertW — W-функция Ламберта;
  •  WeberE — Е-функция Вебера;
  •  WeierstrassP — Р-функция Вейерштрасса;
  •  WeierstrassPPrime — производная Р-функции Вейерштрасса;
  •  WeierstrassZeta — зета-функция Вейерштрасса;
  •  WeierstrassSigma — сигма-функция Вейерштрасса;
  •  Zeta — зета-функция Римана и Гурвица.

Ввиду большого числа специальных функций и наличия множества примеров их вычисления в справочной системе Maple 15 ограничимся несколькими примерами вычисления наиболее распространенных специальных функций. По их подобию читатель может опробовать в работе и другие специальные функции.
даны примеры применения ряда специальных функций. Обратите особое внимание на первый пример. Он показывает, как средствами системы Maple 15 задается определение функций Бесселя. далее…

Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции
К обратным тригонометрическим относятся следующие функции:

  •  arcsin — арксинус;
  •  arccos — арккосинус;
  •  arctan — арктангенс;
  •  arcsec — арксеканс;
  •  arccsc — арккосеканс;
  •  arccot — арккотангенс.

Примеры вычислений:

К этому классу функций принадлежит еще одна полезная функция: arctan(y.x) = argument(x+I*y)
Она возвращает угол радиус-вектора в интервале от -Pi до Pi при координатах конца радиус-вектора х и у (см. пример ниже):

Графики ряда обратных тригонометрических функций показаны.
Гиперболические функции
Гиперболические функции представлены следующим набором:

  •  sinh — гиперболический синус;
  •  cosh — гиперболический косинус;
  •  tanh — гиперболический тангенс;
  •  sech — гиперболический секанс;
  •  csch — гиперболический косеканс;
  •  coth — гиперболический котангенс.

Примеры применения гиперболических функций представлены ниже:

На сверху представлены графики гиперболического синуса, косинуса и тангенса. По ним можно судить о поведении этих функций.

 ПРИМЕЧАНИЕ
 В отличие от тригонометрических гиперболические функции не являются периодическими. Функция гиперболического тангенса имеет симметричную кривую с характерными ограничениями. Поэтому она широко используется для моделирования передаточных характеристик нелинейных систем с ограничением выходного параметра при больших значениях входного параметра.
Обратные гиперболические функции
Как и тригонометрические функции, гиперболические имеют свои обратные функции:

  •  arcsinh — гиперболический арксинус;
  •  arccosh — гиперболический арккосинус; 
  •  arctanh — гиперболический арктангенс;
  •  arcsech — гиперболический арксеканс: 
  •  arccsch — гиперболический арккосеканс: 
  •  arccoth — гиперболический арккотангенс. 

Примеры применения:

Графики обратных гиперболических синуса, косинуса и тангенса представлены снизу. далее…

Математические функции

Математические функции
Понятие о встроенных функциях
Maple 15 имеет полный набор элементарных математических функций. Все они, кроме арктангенса двух аргументов, имеют один аргумент х, например sin(x). Он может быть целым, рациональным, дробно-рациональным, вещественным или комплексным числом. В ответ на обращение к ним элементарные функции возвращают соответствующее значение. Поэтому они могут быть включены в математические выражения. далее…

Получение сразу нескольких корней

Получение сразу нескольких корней
Многие уравнения с тригонометрическими функциями могут иметь периодические или близкие к ним решения. К сожалению, функции Mathematica, вычисляющие корни уравнений, не способны в этом случае дать сразу несколько корней. Однако ситуация тут далеко не безнадежна — приведенный ниже пример наглядно показывает это.
Пусть требуется в интервале изменения х от 0 до 20 найти все решения уравнения
х sin(x) + х/2 — 1 = 0
График функции, представляющей левую часть уравнения, показан на 4. Хорошо видно, что он пересекает ось х семь раз, то есть имеет в интересующем нас диапазоне семь корней.
Колебательная составляющая функции обусловлена входящей в нее функцией sin(x), которая имеет нули в точках 0, n, 2n, Зn… Однако, эти значения лишь приближенные, ввиду влияния других членов уравнения.
Ключевая идея получения всех корней уравнения заключается в поиске нужных решений с помощью функции FindRoot, которой последовательно подставляются различные начальные приближения. далее…

Встроенные операторы и функции

Встроенные операторы и функции .

Операторы и операнды
Виды операторов
Операторы во входном языке и языке программирования Maple служат для конструирования выражений. Формально операторы представлены своими идентификаторами в виде специальных математических знаков, слов и иных имен. Операторы, как это вытекает из их названия, обеспечивают определенные операции над данными, представленными операндами.
Имеется пять основных типов операторов:

  •  binary — бинарные операторы (двумя операндами);
  •  unary — унарные операторы (с одним операндом);
  •  nullary — нульарные операторы (без операнда — это одна, две и три пары кавычек);
  •  precedence — операторы старшинства (включая логические операторы);
  •  functional — функциональные операторы.

Для просмотра операторов и их свойств можно использовать следующие команды:
> ?operators[binary]; 
> ?operators[unary]; 
> ToperatorsCnullary]; 
> ?operators[precedence];
> ?operators[functional]:
А для изучения примеров применения операторов нужно задать и исполнить команду:
> ?operators[examples];
Команда:
> Tdefine:
позволяет ознакомиться с функций define. С ее помощью можно определять новые операторы. далее…