Записи с меткой «описанных»

Директивы двумерной графики

Директивы двумерной графики
Еще одним важным средством настройки графиков являются графические директивы. Синтаксис их подобен синтаксису функций. Однако директивы не возвращают объектов, а лишь влияют на их характеристики. Используются следующие основные директивы двумерной графики:

  • AbsoluteDashing [ {dl, d2,…}]— задает построение последующих линией пунктиром со смежными (последовательными) сегментами, имеющими абсолютные длины dl, d2, … (повторяемые циклически). Значения длины di задаются в пикселях;
  • AbsolutePointSize [d] — задает построение последующих точек графика в виде кружков с диаметром d (в пикселях);
  • AbsoluteThickness [d] — задает абсолютное значение толщины (в пикселях) для последующих рисуемых линий;
  • Dashing [{rl, r2,…}] — задает построение последующих линий пунктиром с последовательными сегментами длиной rl, г2, …, повторяемыми циклически, причем ri задается как доля полной ширины графика;
  • PointSize [d] — задает вывод последующих точек графика в виде кружков с относительным диаметром d, заданным как доля общей ширины графика;
  • Thickness [r] — устанавливает для всех последующих линий толщину г, заданную как доля полной ширины графика.

Рисунок показывает построение графика функции Бесселя в виде пунктирной линии. Она задается с помощью графической директивы Dashing.
Применение графических директив совместно с опциями позволяет создавать графики самого различного вида, вполне удовлетворяющие как строгим требованиям, так и различным «извращениям» в их оформлении. далее…

Функции Эйри

Функции Эйри
 
Функции Эйри представляют собой независимые решения линейного дифференциального уравнения w"- zw = 0. В Mathematica эти функции представлены следующим набором:

  • AiryAi [z] — возвращает значение функции Эйри Ai(z);
  • AiryAiPrime [ z ] — возвращает значение производной функции Эйри Ai ‘(z);
  • AiryBi [z] — возвращает значение функции Эйри Bi(z);
  • AiryBiPrime [z] — возвращает производную функции Эйри Bi'(z).

Ниже представлены примеры на вычисление функций Эйри.

Ввод (In)

Вывод (Out)

AiryAi [2. +3.*I]

0.00810446 + 0.131178 I

AiryAi[l.]

0.135292

AiryBi [2. +3.*I]

-0.396368 — 0.569731 I

AiryBiPrime [2 . +3 . *I]

0.349458 — 1.10533 I

С функциями Эйри связаны многие специальные математические функции. Эта связь проявляется и при выполнении различных математических операций над функциями Эйри:
D[AiryAi[x],х]
AiryAiPrime[x]
Integrate[AiryBi[x],x]
{xGamma[1/3 ] HypergeometricPFQ[{1/3 }, {2/3,4/3}, x3/9]} /{3 31/6 Gamma [ 2/3 ] Gamma [ 5/3 ]}
{ x2Gamma[1/3 ] HypergeometricPFQ[{1/3 }, {2/3,4/3}, x3/9]} /{3 35/6 Gamma [ 4/3 ] Gamma [ 5/3 ]}
Series[AiryBi[x],{x,0,5}]
{1 /31/6xGamma[2/3]}+ {31/6x /Gamma[1/3]}+ {x3 /631/6Gamma[2/3]}+{x4 /435/6Gamma[1/3]}+O[x]6
Графики функций, Эйри представлены на.
Нетрудно заметить, что при х < 0 они имеют колебательный характер.
 
Бета-функция и родственные ей функции
Класс бета-функций, имеющих специальное интегральное представление, в Mathematica представлен следующим набором:

  • Beta [а, b] — эйлерова бета-функция В(a, b);
  • Beta[z, а, b] — неполная бета-функция;
  • Beta[z0, zl, a, b] — обобщенная неполная бета-функция Beta [z1, a, b] — Beta[z0, а, b];
  • BetaRegularized [z, a> b] — регуляризированная неполная бета-функция I(z,a,b) = Betafz, a, b]/Beta[a, b];
  • BetaRegularized [z0, zl, a, b]—регуляризированная обобщенная неполная бета-функция I(z1l,a,b) — I(z0, a, b).

Поимепы на вычисление этих функций представлены ниже.

Ввод (In)

Вывод (Out)

Beta[l.,2.]

0.5

Beta[l.,2.,3.]

0.0833333

Beta[2.+3.*I,4.+6.*I,l,2]

4. — 12. I

BetaRegulari zed [0.1,1,2]

0.19

 
Специальные числа и полиномы
Для вычисления специальных чисел и полиномов служит следующая группа функций:

  • BernoulliB [n] — n-е число Бернулли;
  • BernoulliB [n, х] — полином Бернулли n-й степени;
  • Binomial [n, m] — биномиальный коэффициент;
  • Cyclotomic [n, х] — циклотомический полином порядка п по переменной х;
  • EulerE[n] — n-е число Эйлера;
  • EulerE[n, х] — n-й полином Эйлера;
  • EulerPhi [n] — эйлерова функция сумм ф(n) — количество положительных целых чисел, не превосходящих п и взаимно простых с и;
  • Fibonacci [n] — n-е число Фибоначчи;
  • Fibonacci [n, х] — полином Фибоначчи F n (x);
  • Multinomial [n1, n2, . . . ] — мультиномиальный коэффициент (n! + n2 + . . .) !/(n1! n2! …);
  • NBernoulliB [n] — численное значение n-го числа Бернулли;
  • NBernoulliB [n, d] — n-е число Бернулли с n?-цифровой точностью представления;
  • Pochhammer [а, n] — символ Похгамера;
  • StirlingSl [n, m] — число Стирлинга первого рода;
  • StirlingS2 [n, m] — число Стирлинга второго рода.

Ниже представлены примеры вычисления данных функций.

далее…

Спектральный анализ с линейной интерполяцией сигнала

Спектральный анализ с линейной интерполяцией сигнала
Как уже отмечалось, одной из проблем точного представления сигналов при гармоническом синтезе является ограничение числа гармоник, связанное с конечностью числа отсчетов сигнала. К примеру, если вещественный сигнал задан 20 отсчетами, то максимальное число гармоник будет всего 10, что недостаточно для хорошего представления большинства реальных сигналов.
Ниже описан путь преодоления этого ограничения. Он основан на интерполяции сигнала, что позволяет при ограниченном числе его отсчетов (выборок) использовать любое число дополнительных отсчетов. Разумеется, при этом строится спектр интерполированного сигнала, но он может представлять реальный сигнал гораздо лучше, чем просто ограниченный N/2 гармониками спектр сигнала с малым числом выборок.
Еще одна проблема при спектральном анализе связана с необходимостью нормировки коэффициентов Фурье. далее…