Warning: include(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include_once(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82

Warning: include_once(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82
пакете | Учебники

Записи с меткой «пакете»

Пакет анализа линейных функциональных систем LinearFunctionalSystems

Пакет анализа линейных функциональных систем LinearFunctionalSystems
Назначение пакета LinearFunctionalSystems
Пакет LinearFimctionalSystems содержит набор функций для решения задач, связанных с анализом линейных функциональных систем. Обычно такие системы описываются линейными дифференциальными уравнениями, имеющими то или иное решение. Пакет LinearFunctionalSystems позволяет провести тестирование подготовленной системы, оценить ряд ее параметров и получить решение одним из ряда методов.
Вызов всех функций пакета осуществляется командой: 
> with(LinearFunctionalSystems):
[AreSameSolution, CanonicalSystem, ExtendSeries, Homogeneous System, IsSolution,
MatrixTriangularization, PolynomialSolution, Properties, RationalSolution,
SeriesSolution, UniversalDenominator]
Тестовые функции пакета LinearFunctionalSystems
Прежде чем рассматривать основные функции пакета, рассмотрим две тестовые функции. Они представлены следующими формами записи:
IsSolution(sol,sys, vars)    IsSolution(sol, A, b, x, case)
 IsSolution(sol, A, x, case) AreSameSolutior(sol, soil)
В них: sol — тестируемое решение, sys — система функциональных уравнений, х — независимая переменная решения, А и b — матрица и вектор с рациональными элементами, case — имя метода решения (‘differential’, ‘difference’ или ‘qdifference’).
Функции решения линейных функциональных систем
Группа основных функций пакета LinearFunctionalSystems имеет идентичный синтаксис и записывается в виде:
name(sys,vars,[method]) 
или 
name(A[.b],x, case, [method]}
Здесь name — одно из следующих имен:

  •  PolynomialSolution — решение в форме полинома;
  •  RationalSolution — решение в форме рационального выражения;
  •  SeriesSolution — решение в виде ряда;
  •  UniversalDenominator — решение с универсальным знаменателем (и числителем, равным 1).

Система функциональных уравнений задается либо в виде полной системы sys со списком переменных vars, либо в матричном виде с заданием матриц  коэффициентов, системы А и вектора свободных членов b (может отсутствовать) с указанием независимой переменной х и параметра case, имеющего значения ‘differential’, ‘difference’ или ‘qdifference’. Параметр method, задающий метод EG-исключения, может иметь значения ‘quasimodular’ или ‘ordinary’.
Вспомогательные функции
 Несколько вспомогательных функций пакета LinearFunctionalSystems представлено ниже:

  •  MatrixTriangularization(mat, m, n, x, It) — триангуляция матрицы mat размера mxn с указанием типа It (‘lead’ или ‘trail’);
  •  CanonicalSystemCshift, sys. vars) или CanonicalSystemCshift, A[, b]. x, case) — возвращает систему в каноническом виде (параметр shift задается как ‘ difference’ или ‘ q — difference’, назначение других параметров С9ответствует указанным выше для других функций);
  •  ExtendSeries(sol, deg) — расширяет ряд решения sol до расширенного ряда степени deg;
  •  HomogeneousSystemChoitio, sys, vars) илиHomogeneousSystemChomo, A[, b], x, case) — преобразует исходную систему в гомогенную с именем homo.
  •  PropertiesCsys, vars) или Properties(A[. b]. x, case) — возвращает основные свойства системы.

Примеры применения пакета
LinearFunctionalSystems
Ниже представлен ряд примеров применения пакета LinearFunctionalSystems, иллюстрирующих его возможности:
 

Множество дополнительных примеров на анализ и решение линейных функциональных систем можно найти в справке по функциям данного пакета.

Примеры матричных операций с применением пакета LinearAlgebra

Примеры матричных операций с применением пакета LinearAlgebra
Применение алгоритмов NAG особенно эффективно в том случае, когда используется встроенная в современные микропроцессоры арифметика чисел с плавающей запятой. С помощью специального флага такую арифметику можно отключать или включать:
> UseHardwareFloats := false; # use software floats
UseHardwareFloats :=false 
> UseHardwareFloats := true: # default behaviour
UseHardwareFloats :=true
Матрицы в новом пакете линейной алгебры могут задаваться в угловых скобках, как показано ниже:

После этого можно выполнять с ними типовые матричные операции. Например, можно инвертировать (обращать) матрицы:

Обратите внимание, что Maple 15 теперь выдает информационные сообщения о новых условиях реализации операции инвертирования матриц с вещественными элементами, и в частности об использовании алгоритмов NAG и арифметики, встроенной в сопроцессор. (
Следующий пример иллюстрирует создание двух случайных матриц Ml и М2 и затем их умножение:

Параметр inplace в функции умножения обеспечивает помещение результата умножения матриц на место исходной матрицы Ml — излюбленный прием создателей быстрых матричных алгоритмов NAG. Поскольку матрицы Ml и М2 за- -даны как случайные, то при повторении этого примера результаты, естественно, будут иными, чем приведенные.
Следующий пример иллюстрирует проведение хорошо известной операции/ LU-разложения над матрицей М, созданной функцией Matrix:

Конечной целью большинства матричных операций является решение систем линейных уравнений. Для этого пакет LinearAlgebra предлагает великое множество методов и средств их реализации. Мы ограничимся простым примером одновременного решения сразу трех систем уравнений. Дабы не загромождать книгу массивными выражениями, ограничимся решением систем из двух линейных уравнений, матрица коэффициентов у которых одна, а векторы свободных членов разные. Ниже показан пример решения такой системы:
 

На этом, учитывая ограниченный объем книги, мы завершаем обзор пакета LmearAlgebra. Читатель, познающий или знающий методы линейной алгебры, может опробовать в работе любые функции этого пакета самостоятельно или познакомиться со множеством примеров, размещенных в справочной системе Maple 15. Возможности пакетов linalg и LinearAlgebra удовлетворят самых требовательных специалистов в этой области математики. 

Пакет решения задач линейной алгебры linalg

Пакет решения задач линейной алгебры linalg
Состав пакета linalg
Несомненно, что уникальной возможностью системы Maple 15, как и других систем компьютерной алгебры, является возможность решения задач линейной алгебры в символьном (формульном, аналитическом) виде. Однако такое решение представляет скорее теоретический, чем практический интерес, поскольку даже при небольших размерах матриц (уже при 4-5 строках и столбцах) символьные результаты оказываются очень громоздкими и труднообозримыми. Они полезны только при решении специфических аналитических задач, например с разреженными матрицами, у которых большинство элементов имеют нулевые значения.
Поэтому разработчики Maple 15 были вынуждены реализовать в своей системе численные методы решения задач линейной алгебры, которые широко используются в основных сферах ее приложения — математическом моделировании систем и устройств, расчетах в электротехнике, механике, астрономии и т. д.
В ядро Maple 15, как отмечалось, введены очень скромные и минимально необходимые средства для решения задач линейной алгебры. Основной упор в их реализации сделан на подключаемые пакеты. Основным из них, унаследованным от предшествующих реализаций системы, является пакет решения задач линейной алгебры Unalg. Это один из самых обширных и мощных пакетов в области решения задач линейной алгебры. Он содержит свыше ста функций:
> with(linalg); 
Warning, the names fibonacci, inverse and multiply have been redefined Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected[BlockDiagonal, GramSchmidt, JordanBlock, LUdecomp, QRdecomp, Wronskian, addcol, addrow, adj, adjoint, angle, augment, backsub, band, basis, bezout, blockmatrix, charmat, charpoly, cholesky, col, coldim, colspace, colspan, companion, concat, cond, copyinto, crossprod, curl, definite, delcols, delrows, det, diag, diverge, dotprod, eigenvals, eigenvalues, eigenvectors, eigenvects, entermatrix, equal, exponential, extend, ffgausselimfifibonacci,forwardsub,frobenius, gausselim, gaussjord, geneqns, genmatrix, grad, hadamard, hermite, hessian, hilbert,htranspose, thermite, indexfunc, innerprod, intbasis, inverse, ismith, issimilar, iszerojacobian, Jordan, kernel, laplacian, leastsqrs, linsolve,matadd, matrix, minor, minpoly, mulcol, /им/row,multiply, norm, normalize, nullspace, orthog, permanent, pivot, potential, randmatrix, randvector, rank, ratform, row, rowdim, rowspace, rowspan, rref, scalarmul, singularvals, smith, stackmatrix, submatrix, subvector, sumbasis, swapcol, swaprow, Sylvester, toeplitz, trace, transpose, vandermonde, vecpotent, vectdim, vector, wronskian] 
Ниже указано назначение тех функций пакета linalg, которые подробно не описаны:

  •  addcol — добавляет к одному из столбцов другой столбец, умноженный на некоторое число;
  •  addrow — добавляет к одной из строк другую строку, умноженную на некоторое число;
  •  angle — вычисляет угол между векторами;
  •  augment — объединяет две или больше матриц по горизонтали;
  •  backsub — реализует метод обратной подстановки при решении системы линейных уравнений (см. также forwardsub);
  •  band — создает ленточную матрицу;
  •  basis — находит базис векторного пространства;
  •  bezout — создает Bezout-матрицу двух полиномов; . г
  •  BlockDiagonal — создает блок-диагональную матрицу;
  •  blockmatrix — создает блок-матрицу;
  •  cholesky — декомпозиция Холесского для квадратной положительно определенной матрицы;
  •  charmat — создает характеристическую матрицу (charmat(M,v) — матрица, вычисляемая как v E-M);
  •  charpoly — возвращает характеристический полином матрицы;
  •  colspace — вычисляет базис пространства столбцов;
  •  colspan — находит базис линейной оболочки столбцов матрицы;
  •  companion — вычисляет сопровождающую матрицу, ассоциированную с полиномом;
  •  cond — вычисляет число обусловленности матрицы (cond(M) есть величина norm(M) norm(М-1);
  •  curl — вычисляет ротор вектора;
  •  definite — тест на положительную (отрицательную) определенность матрицы;
  •  diag — создает блок-диагональную матрицу;
  •  diverge — вычисляет дивергенцию векторной функции;
  •  eigenvals — вычисляет собственные значения матрицы;
  •  eigenvects — вычисляет собственные векторы матрицы;
  •  equal — определяет, являются ли две матрицы равными;
  •  exponential — создает экспоненциальную матрицу;
  •  ffgausselim — свободное от дробей Гауссово исключение в матрице;
  •  fibonacci — матрица Фибоначчи;
  •  forwardsub — реализует метод прямой подстановки при решении системы линейных уравнений (например, для матрицы L и вектора b
  •  forwardsub(L, b) возвращает вектор решения х системы линейных уравнений L-x=b);
  •  frobenius — вычисляет форму Фробениуса (Frobenius) матрицы;
  •  gausselim — Гауссово исключение в матрице;
  •  gaussjord — синоним для rref (метод исключения Гаусса—Жордана);
  •  geneqns — генерирует элементы матрицы из уравнений;
  •  genmatrix — генерирует матрицу из коэффициентов уравнений;
  •  grad — градиент векторного выражения;
  •  GramSchmidt — вычисляет ортогональные векторы;
  •  hadamard — вычисляет ограничение на коэффициенты детерминанта;
  •  hessian — вычисляет гессиан-матрицу выражения;
  •  hilbert — создает матрицу Гильберта;
  •  htranspose — находит эрмитову транспонированную матрицу;
  •  ihermite — целочисленная эрмитова нормальная форма;
  •  indexfunc — определяет функцию индексации массива;
  •  Innerprod — вычисляет векторное произведение;
  •  Intbasis — определяет базис пересечения пространств;
  •  ismith — целочисленная нормальная форма Шмитта;
  •  iszero — проверяет, является ли матрица ноль-матрицей;
  •  jacobian —’ вычисляет якобиан векторной функции;
  •  JordanBlock — возвращает блок-матрицу Жордана;
  •  kernel — находит базис ядра преобразования, соответствующего данной матрице;
  •  laplacian — вычисляет лапласиан;
  •  leastsqrs — решение уравнений по методу наименьших квадратов;
  •  linsolve — решение линейных уравнений;
  •  LudeComp — осуществляет LU-разложение;
  •  minpoly — вычисляет минимальный полином матрицы;
  •  mulcol — умножает столбец матрицы на заданное выражение;
  •  mulrow — умножает строку матрицы на заданное выражение;
  •  multiply — перемножение ‘матриц или матрицы и вектора;
  •  normalize — нормализация вектора;
  •  orthog — тест на ортогональность матрицы;
  •  permanent — вычисляет перманент матрицы — определитель, вычисляемый без перестановок;
  •  pivot — вращение относительно элементов матрицы;
  •  potential — вычисляет потенциал векторного поля;
  •  Qrdecomp — осуществляет QR-разложение;
  •  randmatrix — генерирует случайные матрицы;
  •  randvector — генерирует случайные векторы;
  •  ratform — вычисляет рациональную каноническую форму;
  •  references — выводит список основополагающих работ по линейной алгебре;
  •  rowspace — вычисляет базис пространства строки;
  •  rowspan — вычисляет векторы охвата для места столбца;
  •  rref — реализует преобразование Гаусса-Жордана матрицы;
  •  scalarmul — умножение матрицы или вектора на заданное выражение;
  •  singval — вычисляет сингулярное значение квадратной матрицы;
  •  singularvals — возвращает список сингулярных значений квадратной матрицы;
  •  smith — вычисляет Шмиттову нормальную форму матрицы;
  •  submatrix — извлекает указанную подматрицу из матрицы;
  •  subvector — извлекает указанный вектор из матрицы;
  •  sumbasis — определяет базис объединения системы векторов;
  •  swapcol — меняет местами два столбца в матрице;
  •  swaprow — меняет местами две строки в матрице;
  •  sylvester — создает матрицу Сильвестра из двух полиномов;
  •  toeplitz — создает матрицу Теплица;
  •  trace — возвращает след матрицы;
  •  vandermonde — создает вандермондову матрицу;
  •  vecpotent — вычисляет векторный потенциал;
  •  vectdim — определяет размерность вектора;
  •  wronskian — вронскиан векторных функций.

Ниже мы рассмотрим более подробно наиболее часто используемые функции из этого пакета. С деталями синтаксиса (достаточно разнообразного) для каждой из указанных функций можно ознакомиться в справочной системе Maple. далее…

Функция вычисления обычных сплайнов Spline

Функция вычисления обычных сплайнов Spline
Функция:
Spline(xydata, v, opts)
Spline(xdata, ydata, v, opts)
вычисляет обычные (не В-типа) сплайны. Примеры ее применения даны ниже:

Функция аппроксимации непрерывными дробями ThieleInterpolation
Функция ThieleInterpolation осуществляет интерполяцию на основе непрерывных дробей (Thiele’s-интерполяцию). Она задается в виде:
Thielelnterpolation (xydata, v)
  Thielelnterpolation(xdata, ydata, v)
Примеры применения данной функции представлены ниже:

Пакет для работы с полиномами PolynomialTools
Обзор возможностей пакета PolynomialTools
Пакет для работы с полиномами PolynomialTools предназначен для выполнения ряда специальных операций с полиномами или создания полиномов с заданными свойствами. Этот пакет имеет небольшое число функций: 
 > with(PolynomialTools):
[IsSelfReciprocal, MinimalPolynomial, PDEToPolynomial, PolynomialToPDE, Shorten, Shorter, Sort, Split, Splits, Translate]
В пакет входят функции расщепления, сортировки и преобразования полиномов (в том числе в дифференциальные уравнения и наоборот) и др.
Функции для работы с полиномами
Рассмотрим несколько функций пакета PolynomialTools общего характера. Примеры применения этой функции представлены ниже:
ПРИМЕЧАНИЕ 
Функция IsSelfReciprocat(a, х, ‘р’) проверяет полином а(х) на условие coeff(a,x,k) =coeff(a,x,d-k) для всех k = 0. .d, где d = degree(a; х) — порядок полинома. Если это условие выполняется, то возвращается логическое значение true, иначе — false. Если порядок d четный и если задан третий аргумент р, то р будет представлять полином Р порядка d/2, такой, что x^(1/2)*P(x+l/x) = а. При нечетном d полином а будет взаимообратным, что подразумевает деление на х+1. В этом случае; если р указано, результат вычисляется в форме а/(х+1).

Функция MinimalPolynomial (r, n, асе) возвращает полином минимальной степени не превышающей n, имеющий корень г. Необязательный аргумент асе задает погрешность приближения. Функция MinimalPolynomia(r, n) использует решетчатый алгоритм и находит полином степени п (или менее) с наименьшими целыми коэффициентами. Корень г может быть действительным или комплексным. далее…

Прямое и обратное преобразования Гильберта

Прямое и обратное преобразования Гильберта
Прямое преобразование Гильберта задается следующим выражением:

и превращает функцию f(t) в F(s).
Обратное преобразование Гильберта означает нахождение f(f) по заданной F(s).
Эти преобразования выполняются функциями:
hilbert(expr, t, s) 
invhilbert(expr, t,s)
где назначение параметров очевидно.
Приведенные ниже примеры иллюстрируют выполнение этих преобразований:
 

Как видно из этих примеров, обратное преобразование Гильберта, осуществленное над результатом прямого преобразования, не восстанавливает функцию f(t) буквально.

Интегральное преобразование Меллина
Интегральное преобразование Меллина задается выражением:

и реализуется функцией:
mellin(expr, х, s)
с очевидными параметрами ехрr, х и s.
Применение преобразования Меллина иллюстрируют следующие примеры:

Функция addtable
Как видно из приведенных примеров, не всегда интегральные преобразования дают результат в явном виде. Получить его позволяет вспомогательная функция:
addtable(tname,patt,ехрr,t,s)
где tname — наименование преобразования, для которого образец patt должен быть добавлен к таблице поиска. Остальные параметры очевидны. далее…

Прямое и обратное преобразования Лапласа

Прямое и обратное преобразования Лапласа
Прямое преобразование Лапсаса заключается в переводе некоторой функции времени f(t) в операторную форму F(p). Это преобразование означает вычисление интеграла

Для осуществления прямого преобразования Лапласа Maple 15 имеет функцию
laplace(expr,t,p)
Здесь ехрr— преобразуемое выражение, t — переменная, относительно которой записано ехрr, и р — переменная, относительно которой записывается результат преобразования.
Обратное преобразование Лапласа означает переход от функции F(p) к функции (t) с помощью формулы

 

Для вычисления этого интеграла служит функция:
invlaplace(expr,p, t)
где ехрr — выражение относительно переменной р, t — переменная, относительно которой записывается результирующая зависимость. Оба преобразования широко применяются в практике научно-технических вычислений и отражают суть операторного метода. При этом прямое преобразование создает изображение  а обратное —оригинал функции. Ниже приведены примеры применения прямого и обратного преобразований Лапласа:

Нетрудно заметить, что в данном случае последовательное применение прямого, а затем обратного преобразования восстанавливает исходную функцию sin(t) + acos(t).
Прямое и обратное преобразования Фурье
Прямое преобразование Фурье преобразует функцию времени f(t) в функцию частот и заключается в вычислении следующей интегральной функции:

Оно реализуется следующей функцией пакета интегральных преобразований inttrans:
fourier(expr,t,w)
Здесь ехрr — выражение (уравнение или множество), t — переменная, от которой зависит ехрr, и w — переменная, относительно которой записывается результирующая функция. Обратное преобразование Фурье задается вычислением интеграла:

Оно фактически переводит представление сигнала из частотной области во временную. далее…