Warning: include(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include_once(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82

Warning: include_once(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82
приведем | Учебники

Записи с меткой «приведем»

Работа с простыми числами-PrimeQ

Работа с простыми числами-PrimeQ
В подпакете PrimeQ в дополнение к функции ядра PrimeQ [n] имеется ряд функций для работы с простыми числами:

  • ProvablePrimeQ [n] — возвращает True, если п проверено на простоту, и False в ином случае;
  • PrimeQCertif icate [n] — возвращает сертификат о том, что n— простое или композитное число;
  • ProvablePrimeQ [n, Certif icate->True] — возвращает сертификат, который может использоваться для проверки чисел на простоту;
  • PrimeQCertif icateCheck [check, n] — проверяет, удостоверяет ли сертификат check простоту или композитность п.

Следующие примеры показывают работу с простыми числами:
<<NumberTheory` PrimeQ`
PrimeQ[127]
True
ProvablePrimeQ[127]
True
PrimeQCertificate[127]
{127, 3, {2, {3, 2, {2}.}, {7, 3, {2, {3, 2, {2}}}}}}
ProvablePrimeQ[127, Certificate->True]
(True, {127, 3, {2, {3, 2, {2}}, {7, 3, {2, {3, 2, {2}}}}}}}
PrimeQCertificate[3511, SmallPrime -> 1000]
{{CertificatePrime -> 3511,
CertificatePoint->PointEC[2, 2467, 1447, 2135, 3511], Certif icateK-> 32, Certif icateM -> 3424,
CertificateNextPrime -*107, CertificateDiscriminant -> -7},
107, 2, {2, {53, 2, {2, {13, 2, {2, {3, 2, {2}}}}}}}}
 
Вычисление примитивных элементов — Primitive Element
Подпакет PrimitiveElement содержит всего одну функцию для вычисления примитивных элементов множественного алгебраического выражения:

  • PrimitiveElement [z, {а1„а2,…} ] — возвращает список {b, { f1, f2,…}}, где b — примитивный элемент расширения рациональных алгебраических чисел al, а2,… и f1, f 2,… — полином переменной z, представляющей al, a2, … как термы примитивного элемента.

Ее действие видно из следующего примера:
<<NumberTheory`PrimitiveElement`
PrimitiveElement[z, {Sqrt[2], Sqrt[3]}]
RootReduce[%[[2]] /. z -> %[[1]]]
 
Создание рядов Рамануджанат-Дирихле — Ramanujan
В подпакете Ramanujan определены следующие функции:

  • RamanujanTau [n] — n-й коэффициент ряда Рамануджана т-Дирйхле (т n );
  • RamanujanTauGeneratingFunction [z] — производящая функция ряда Рамануджана т-Дирихле;
  • RamanujanTauDirichletSeries [s] — ряд Рамануджана т-Дирихле f(s);
  • RamanujanTauTheta [t] — функция Рамануджана т-Дирихле o(t)
  • RamanujanTauZ [t] — функция Рамануджана т-Дирихле z(t).

Это довольно редкие функции, представляющие интерес для специалистов в теории чисел. Достаточно подробные их определения даны в справочной базе данных. Ограничимся приведением примеров их использования:
<<NumberTheory`Ramanujan`
RamanujanTau[5]
4830
Sum[RamanujanTau[n] z^n, {n, 5}]
z — 24 z2 + 252 z3 — 1472 z4 + 4830 z5
RamanujanTauGeneratingFunction[. 1]
0.00610209
RamanuJanTauGeneratingFunction[.99]
4.10287803703 x -1673
RamanujanTauDirichletSeries[6 + 9.221]
0.00040309-0.002390131
z = RamanujanTauZ[9.22]
0.00242388
theta = RamanujanTauTheta[9.22]
1.40372043366323 z Exp[-I theta]
0.00040309 — 0.00239013 I
 
Рационализация чисел — Rationalize
Подпакет Rationalize расширяет возможности представления чисел в рациональном виде. Он содержит определения следующих функций:

  • ProjectiveRationalize [ {х0, xl,…, хn} ] — возвращает список целых чисел, дающих рациональные представления для чисел заданного списка;
  • ProjectiveRationalize [ {х0, xl,…, хn} ,ргес] — возвращает список целых чисел, дающих рациональные представления с погрешностью не более 10- рreк
  • Af f ineRationalize [ {х0, xl,…, хn} ] — возвращает список рациональных приближений для чисел заданного списка;
  • Aff ineRationalize [ {х0, xl,…, xn} ,prec] — возвращает список рациональных приближений для чисел заданного списка, вычисленных с погрешностью не более 10- ргес .

Встроенная в ядро функция Rationalize дает рациональное представление для одиночных вещественных чисел. далее…

Вычисление производных

Вычисление производных
 
К числу наиболее часто используемых математических операций принадлежит вычисление производных функций как в аналитической, так и в символьной форме. Для этого используются следующие функции:

  • D [ f, х ] — возвращает частную производную функции f по переменной х;
  • D [f, {х, n}]— возвращает частную производную n-го порядка по х;
  • D[f, xl, х2,…] — возвращает смешанную производную;
  • Dt[f, х] — возвращает обобщенную производную функции f по переменной х;
  • Dt [ f ] — возвращает полный дифференциал f.

Название функции из одной буквы — это явно исключение из правил. Оно выбрано осознанно, в силу массовости этой операции.
Для функции D существует опция NonConstants, которая позволяет задать список объектов, находящихся в неявной зависимости от переменных дифференцирования. По умолчанию этот список пустой. Для функции Dt имеется опция Constants, которая, наоборот, указывает символы, которые являются константами (по умолчанию их список также пуст). На практике применять данные опции приходится редко. далее…

Вычисление сумм в численном виде

Вычисление сумм в численном виде
Для вычисления сумм в численном виде используются следующие функции:

  • NSum[f, {i, imin, imax }]— возвращает численное значение суммы f [ i ] при i, изменяющемся от imin до imax с шагом +1;
  • NSumff, {i, imin, imax, di }]— возвращает сумму численных значений функции f [i] при i, изменяющемся от imin до imax с шагом di;
  • NSum[f, {i, imin, imax}, {j, jmin, j max },…]— выполняет многомерное суммирование. Функция NSum[… ] эквивалентна выражению N[Sum[…] ].

Особенностью этой функции является возможность использования ряда опций, управляющих вычислительным процессом. Одной из них является NSumTerms, задающая число членов, которые явно должны быть включены в сумму перед экстраполяцией. Вы можете просмотреть список опций, используя команду Options [NSum] . 
Пример применения функции NSum представлен ниже:
NSum[1/i3, {i, 1, бесконечность}]
1.20206
Пример точного вычисления суммы (для сравнения) с помощью функции Sum:
truesum = Sum [1+k/ 2k k/ 3k{k, 1, 50}
1818632874295681087853745424762603034467 / 808281277464764060643139600456536293376
N[%]
2.25
Пример вычисления той же суммы с помощью функции NSum с опциями:
NSum [ 1+k/ 2 k -3k, {k, 1, 50}, Method -> SequenceLimit,
NSumTerms -> 2 , NSumExtraTerms -> 4 ] — truesum
0.0530365
При следующем наборе опций результат еще лучше:
NSum [ 1+k/ 2 k -3k, {k, 1, 50}, Method -> SequenceLimit, WorkingPrecision -> 30 , NSumTerms -> 2 ,
NSumExtraTerms -> 10, WynnDegree -> 4] — truesum
0.x10-26
Функция вычисления суммы NSum выполняется заметно быстрее, чем функция Sum, хотя на практике заметить это трудно — все приведенные выше примеры выполняются за доли секунды. Возвращаемый функцией NSum результат вещественный.
 
Вычисление произведений
 
Вычисление произведений в аналитическом виде
Операции вычисления произведений
Произведение от i=imin до i=imax по fi представлены следующими функциями:

  • Product [f, {i, imax}] — возвращает произведения значений f [i] для значений i, изменяющихся от 1 до imax;
  • Product [f, {i, imin, imax}]—возвращает произведение значений f [ i ] при изменении i от imin до imax с шагом +1;
  • Product[f, {i, imin, imax, di}] — возвращает произведение f [ i ] при i, меняющемся от значения imin до значения imax с шагом di;
  • Product [f, {i, imin, imax}, {j, jmin, jmax},…] — вычисляет многократное произведение (произведение по нескольким переменным).

Примеры использования функций вычисления произведения.

Ввод (In)

Вывод (Out)

Product [i,{i ,10}]

3628800

NProduct [k ^ 2,{k, 1,5}]

14400.

NProduct[i ^ 2, {1,1,2,0. 2}]

93.6405

Product [Logfi], {±,2,5,0.5}]

4.23201 Log[2]

Следующий пример иллюстрирует вычисление произведения в символьном виде:
Произведение (x+i2) , где i=1…5
(1+х) (4 + х) (9 + х) (16 + х) (25 + х)
Об опасности перестановки сомножителей свидетельствуют следующие примеры: Product [i, i,l, 10] 3628800
Product [i,i, 10,1]
1
Product[i,i,10,l,-l]
3628800
Как и в случае вычисления суммы, средний пример явно ошибочен. далее…

Изменение порядка расположения элементов в списке

Изменение порядка расположения элементов в списке
Помимо добавления в список новых данных имеется возможность изменения порядка расположения элементов в списке. Она реализуется следующими операциями:

  • Flatten [list] — выравнивает (превращает в одномерный) список по всем его уровням;
  • Flatten [list, n] — выравнивает список по п его уровням;
  • Flatten [list, n, h] — выравнивает выражения с заголовком h no n уровням;
  • FlattenAt [list, n] — выравнивает подсписок, если он оказывается п-м элементом списка list. Если n отрицательно, позиция отсчитывается с конца;
  • Sort [list] — сортирует элементы списка list в каноническом порядке;
  • Sort[list,p] — сортирует согласно функции упорядочения р;
  • Reverse [list] — возвращает список с обратным порядком расположения элементов;
  • RotateLeft [list] — возвращает список после однократного поворота влево;
  • RotateLeft [list, n] — возвращает список после n-кратного поворота влево;
  • RotateRight [list] — возвращает список после однократного поворота вправо;
  • RotateRight [list, n] — возвращает список после n-кратного поворота вправо;
  • Transpose [list] — осуществляет транспозицию (смену строк и столбцов) для двумерного списка;
  • Transpose [list, п] — осуществляет транспозицию n-мерного списка. Ниже приведен ряд примеров на использование этих функций.

Ввод (In)

Вывод (Out)

13={{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}};

{1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Flatten [13]

 

FlattenAt[13,l]

{1,2,3,{4,5,6},{7,8,9}}

Sort[{l,5,3,4,2}]

{1,2,3,4,5}

Reverse[{l,2,3,4}]

{4,3,2,1}

RotateLeft[ {1,2,3,4,5}, 2]

{3,4,5,1,2}

RotateRight[{l,2,3,4,5} ,2]

{4,5,1,2,3}

12={{a,b},{c,d}};

 

TableForm[12]

a b c d

TableFormf Transpose [12] ]

a c d b

Изменение порядка расположения элементов в списке полезно при реализации некоторых алгоритмов. К примеру, сортировка списка ускоряет выполнение статистических расчетов и уменьшает их погрешности.
Комбинирование списков и работа с множествами
Иногда возникает необходимость комбинирования нескольких списков. Для этого используются следующие функции:

  • Complement [list, listl, list2, …] — возвращает список list с элементами, которые не содержатся ни в одном из списков listl, Iist2, …;
  • Intersection [listl, list2,…] (пересечение множеств) —возвращает упорядоченный список элементов, общих для всех списков listi;
  • Join[list1, list2,… ] — объединяет списки в единую цепочку (выполняет конкатенацию). Join может применяться к любому множеству выражений, имеющих один заголовок;
  • Union [listl, Iist2, …] (объединение множеств) — удаляет повторяющиеся элементы списков и возвращает отсортированный список всех различающихся между собой элементов, принадлежащих любому из данных списков listi. Функция обеспечивает теоретико-множественное объединение списков;
  • Union [list] — возвращает отсортированный вариант списка list, из которого удалены все повторяющиеся элементы.

Приведенные ниже примеры иллюстрируют применение функций комбинирования списков.

далее…