Warning: include(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include_once(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82

Warning: include_once(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82
простое | Учебники

Записи с меткой «простое»

Графические примитивы функции Graphics

Графические примитивы функции Graphics

  • Circle[{x, у}, r]— строит окружность с радиусом г и центром в точке {х, у}.
  • Circle [{х, у), {rх, rу) ] — строит эллипс с центром {х,у} и полуосями гх и гу.
  • Circle[{x, у}, r, {thetal, theta2 }]— представляет дугу окружности радиусом г с центром {х, у} и углами концевых точек thetal и theta2.
  • Disk[{x, у), r]— является примитивом двумерной графики, представляющим закрашенный круг радиусом г с центром в точке {х, у}.
  • Disk [ {х, у}, {rх, rу} ] — строит закрашенный овал с полуосями rх и rу и центром {х, у}.
  • Disk[{x, у}, r, {thetal, theta2}]—строит сегмент круга радиусом г с центром {х, у} и углами концевых точек thetal и theta2.
  • Line [ {pt1 pt2,…} ] — строит линию, соединяющую последовательность точек.
  • Point[{x,y}] — строит точку с координатами х и у.
  • Polygon [{x1, y1},{х2, у2},…] — построение полигона с закраской.
  • PostScript [ «string» ] — построение объекта, заданного на языке PostScript.
  • Rectangle [ {xmin, ymin}, {xmax, ymax}]—строит закрашенный прямоугольник, ориентированный параллельно осям и намеченный координатами противолежащих углов.
  • Rectangle [ {xmin, ymin}, {xmax, ymax}, graphics] — строит закрашенный прямоугольник, заполненный в соответствии с указаниями в функции graphics и заданный координатами противолежащих углов.
  • Raster [{{all, a 12,…},…}] — строит прямоугольный массив ячеек яркости.
  • RasterArray [ {{gll, g!2,…},…}] — строит прямоугольный массив ячеек, окрашенных в соответствии с графическими директивами gij.
  • Text[expr, coords] — выводит текст, соответствующий печатной форме выражения ехрг, центрированный в точке с указанными координатами coords.

Прочитать остальную часть записи »

Функция полного упрощения FullSimplify

Функция полного упрощения FullSimplify
Функция FullSimplify, область применения которой в Mathematica 8 заметно расширена, обладает заметно большими возможностями, чем функция Simplify. В частности, она обеспечивает упрощение выражений, содержащих специальные математические функции:
Simplify [Gamma [х] *х* (х+1) * (х+2) * (х+n) ]
х(1+х) (2 + х) (n+x) Garrma[x]
FullSimplify [Gamma [х] *х* (х+1) * (х+2) * (х+n) ]
(п+ х) Garrma[3 + х]
Simplify[Tan[x] , ComplexityFunction-> (Count[{#l}, _Tan, \ [Infinity]]*;)]
Tan[x]
FullSimplify [Tan [x] , ComplexityFunction -> (Count[{#l}, _Tan,
\ [Infinity]] &)]
Как видно из этих примеров, функция FullSimplify обеспечивает упрощение даже в том случае, когда функция Simplify пасует. Неплохо упрощаются тригонометрические функции, особенно при использовании опции Complexity-Function, подсказывающей путь упрощения.
В то же время нельзя не отметить, что теоретический фундамент упрощения выражений находится лишь в начале своего возведения, так что не стоит удивляться, если отдельные выражения не будут упрощаться — даже в том случае, когда это в принципе возможно. Более того, с позиций истинного математика функции Simplify и FullSimplify делают не совсем понятно что. Тем не менее, часто эти функции позволяют получить вполне приемлемую, хотя вовсе не единственную и не самую простую форму упрощаемого выражения.
Раскрытие и расширение выражений — функции класса Expand
Расширение, или раскрытие, выражений — еще одна типовая операция компьютерной алгебры. далее…

Функции компьютерной алгебры

Функции компьютерной алгебры
 
Системы компьютерной алгебры имеют несколько характерных для них функций, выполняющих достаточно сложные преобразования выражений. Эти функции имеют вполне установившиеся названия (Simplify, Expand, Collect, Factor и т. д.) и встречаются практически во всех системах символьной математики. Настало время детально познакомиться с ними, что и делается в данном разделе.
Упрощение выражений — функция Simplify
Упрощение математических выражений — одна из самых важных задач символьной математики. Частенько невероятно сложное математическое выражение, пугающее новичков своим грозным видом, является просто нулем или единицей либо сводится к простому выражению после ряда вполне заурядных (хотя, порою, и довольно сложных) преобразований. Качество выполнения операции упрощения во многом определяется мощью ядра математической системы, поскольку зависит от числа заложенных в него функций и правил преобразования выражений.
С точки зрения простоты выражений они делятся на недостаточно простые и достаточно простые выражения. Недостаточно простые выражения таят в себе всевозможные «излишества»: сокращаемые общие члены, лишние переменные и функции, полиномы со степенями, допускающими понижение, и т. д. Это затрудняет качественный анализ выражений и может даже приводить к неоднозначным и даже неверным результатам.
Mathematica всегда старается упростить то или иное выражение, если для этого не требуется каких-либо особых средств. Например, сложные выражения, содержащие элементарные или специальные функции, превращаются в более простые выражения — в том лишь смысле, что они состоят из более простых функций. далее…

Инверсные функции

Инверсные функции
Инверсными функциями называют функции, полученные в результате обращения заданных функций. Например, для функции Sin [x] инверсной будет ArcSin [х] и т. д. Следующие функции обеспечивают представление инверсных функций:

  • InverseFunction [f ] — представляет функцию, обратную для f, то есть определенную таким образом, что InverseFunction [f ] [у] возвращает значение х, для которого f [х] равно у. Для функции нескольких переменных InverseFunction [ f ] представляет обращение по первому аргументу;
  • InverseFunction [f, n] — представляет обращение по п-му аргументу;
  • InverseFunction [f, n, tot] — представляет обращение по п-му аргументу, когда имеется всего tot аргументов.

Следующие примеры иллюстрируют работу с этими функциями.

Ввод (In)

Вывод (Out)

InverseFunction [Sin]

ArcSin

%[х]

ArcSin[x]

Composition [ f , g , h]

Ccrrposition[f , g, h]

InverseFunction [Composition [% , q] ]

Corpositiont [q- 1 , h- 1 , g- 1 ,f- 1]

Обратите внимание на то, что в этих примерах фигурируют заголовки функций — например, для получения инверсной функции от Sin [х] следует использовать
Sin в качестве аргумента f функции InverseFunction [f].
Задание математических отношений
Символьные преобразования- при всей их кажущейся таинственности осуществляются по определенным, хотя и весьма многочисленным, а потому для нас запутанным, правилам. Основные из них давно известны из математики и описаны в многочисленных справочниках и монографиях. Они записаны в ядре системы и вызываются из него при создании условий, необходимых для выполнения того или иного преобразования. Если этих условий нет, исходное выражение просто повторяется. А если обнаружена явная ошибка в преобразованиях, то о ее сути выводится соответствующее сообщение. При ситуациях, лишь близких к ошибочным, выводится предупреждающее сообщение, и вычисления продолжаются. далее…

Компьютерная алгебра

Компьютерная алгебра

  • Работа с выражениями
  • Выделения и подстановки в функциях
  • Рекурсивные функции
  • Инверсные функции
  • Задание математических отношений
  • Упрощение выражений
  • Раскрытие и расширение выражений
  • Функции преобразования тригонометрических выражений
  • Основные операции над полиномами
  • Функции для расширенных операций с выражениями

Математические выражения — основа описания алгоритмов вычислений. Фактически, вся символьная математика основана на тех или иных видах преобразований выражений. Такие преобразования и описаны в данном уроке.
Работа с выражениями
 
Одним из важнейших понятий системы Mathematica является математическое выражение, или просто выражение — ехрг (от английского слова expression). Работа с математическими выражениями в символьном виде — основа основ символьной математики.
Выражение может быть представлено в общепринятом виде (как математическая формула или ее часть) с помощью операторов, например, а* (х + у + z) или х ^ у, оно может задавать и некоторую функцию f [х, у,…] или их комбинацию. Наряду с такой формой существует так называемая полная форма представления выражений, при которой основные арифметические операции задаются не операторами, а только соответствующими функциями. Ее примеры даны ниже.

Выражение ехрг

Полная форма ехрг

Комментарий

х + у + z

Plus [х, у, z]

Сложение

х у z

Times [x, у, z]

Умножение

х^n

Power [x,n]

Возведение в степень

{a,b,c}

List [a,b, c]

Создание списка

a->b

Rule [a,b]

Подстановка

a=b

Set [a,b]

Присваивание

Для вывода выражения ехрг в полной форме используется функция FullForm [ехрг ]. Примеры перевода выражений в полную форму:
1+х^2+(у+г)^2+2
3 + х2 + (y+z)2
FullForm[%]
Plus[3, Power[x, 2], Power[Plus[у, z] , 2]]
Integrate[a*Sin[b*x]*Exp[-c*x],x]
a [(be-cxCos[bx])/{-ib + c) (ib + c)-( ce+cxSin[bx]) \(-ib + c) (ib + c) ]
FullForm[%]
Times[a, Plus[Times[-1, b, Power[Plus[Times[Complex[0, -1], b], c] , -1], Power[Plus[Times[Complex[0, 1], b], c] , -1], Power[E, Times[-l, c, x] ] , Cos[Times[b, x] ] ] , Times[-1, c, Power[Plus[Times[Complex[0, -1], b] , c], -1] , Power[Plus[Times[Complex[0, 1] , b], c] , -1] , Power[E, Times[-1, c, x] ] , Sin[Times[b, x]]]]]
Для определения типа выражения служит функция Head [ехрr ]. Применительно к числовым выражениям она возвращает тип результата, как показано в приводимых ниже примерах.

Ввод (In)

Вывод (Out)

1+2+3

6

Head[%]

Integer

Head[123/12345]

Rational

Head[2*0.25]

Real

Следующие примеры поясняют действие функции Head для символьных выражений:

  • Head[f [x,y, z] — возвращает f;
  • Head[a+b+c] — возвращает Plus;
  • Head[x ^ n] — возвращает Power;
  • Head[ {a, b, с} ] — возвращает List.

Другая пара примеров показывает применение Head в списках с разнородными выражениями:
{Head[l + 2], Head[аЬ] , Head[ 5/7], Headfl + 3i], Head[e2]}
{Integer, Times, Rational, Complex, Power}
Head/@{l, 1/3, 2.1, 2 + 3i, x, f [x] , {1, 2, 3}, a+b, a/b}
{Integer, Rational, Real, Complex, Symbol, f, List, Plus, Times}

Обратите внимание на второй пример — в нем функция Head применяется к каждому выражению списка, что дает более компактную запись.

Синтез звуков

Синтез звуков
Mathematica, в отличие от других систем компьютерной математики, имеет средства для синтеза звука. Сопровождение звуком описания некоторых математических закономерностей (например, биений, развития взрывных процессов и т. д.) делает это описание более понятным и естественным. Особенно удобна эта возможность в теоретической акустике и в технике аналоговой и цифровой обработки акустических сигналов. Таким образом, при более серьезном рассмотрении можно найти немало прикладных задач, где звуковое сопровождение их решения полезно и является важной составляющей общего описания результатов решения.
Возможности синтеза звука становятся доступными, если компьютер оборудован звуковой картой класса Sound Blaster фирмы Creative Labs или совместимой с ней. К карте должна быть подключена стереофоническая акустическая система для воспроизведения звуков. Возможен синтез как монофонических, так и стереофонических звуков.
С синтезируемым звуком связан некоторый графический образ — ячейка. Этот графический образ имеет вид осциллограмм звуковых сигналов по обоим стереоканалам. Если такая ячейка выделена, то возможен запуск воспроизведения звука с помощью главного меню, как описывалось в уроке 2.
Для синтеза звуков в системе Mathematica используются следующие функции:

  • ListPlay [ {a1l, a2,…}] — проигрывает звук с амплитудой, заданной последовательностью уровней ai;
  • Play[f, {t, tmin, tmax}] — воспроизводит звук с амплитудой, заданной f как функцией от времени t в секундах между значениями tmin и tmax;
  • PlayRange — опция для Play и родственных функций, указывающая, какой диапазон уровней звуковых амплитуд должен использоваться;
  • SampleDepth — опция для звуковых примитивов, устанавливающая количество бит для кодирования уровней амплитуды звуковых сигналов;
  • SampledSoundFunction [f, n, r] — звуковой примитив; воспроизводит звук с частотой дискретизации г герц; значения дискретных отсчетов генерируются применением функции f к последовательным целым от 1 до л;
  • SampledSoundList [ {al, а2,…},r] — звуковой примитив, воспроизводящий звук, амплитуда которого имеет уровни ai с дискретностью г раз в секунду;
  • SampleRate — опция для звуковых примитивов, устанавливающая частоту дискретизации звука в герцах;
  • Sound [primitives] — представляет звук;
  • $SoundDisplayFunction — возвращает значение по умолчанию для опции Display Function в звуковых функциях.

Некоторые из указанных функций напоминают графические функции, и это не случайно. Идеология применения этих функций та же, что при использовании функций графики. Звуковые объекты имеют много схожего с графическими объектами, их можно наряду с последними включать в различные функции-директивы. далее…