Записи с меткой «простого»

Векторный анализ — VectorAnalysis

Векторный анализ —VectorAnalysis
Подпакет VectorAnalysis содержит множество функций, используемых при выполнении векторного анализа. Здесь надо иметь в виду, что речь идет не о векторах как представителях одномерных массивов, которые рассматривались ранее. В данном случае вектор — это направленный отрезок прямой в пространстве, заданном той или иной системой координат.
Системы координат и их преобразования
Заметная часть функций подпакета VectorAnalysis относится к заданию и преобразованию координат:

  • Coordinates [ ] — возвращает имена переменных текущей системы координат;
  • Coordinates [coordsys] — возвращает имена переменных системы координат coordsys;
  • SetCoordinates [coordsys] — устанавливает систему координат coordsys с текущими переменными;
  • Coordinates [coordsys, {vars}] — устанавливает систему координат coordsys с переменными, заданными списком {vars }.

Ниже даны названия систем координат и соответствующие им представления.

Наименование

Представление

Прямоугольные

Cartesian [х, у, z]

Цилиндрические

Cylindrical [r, theta, z]

Сферические

Spherical [r, theta, phi]

Параболические цилиндрические

ParabolicCylindrical [u, v, z]

Параболические

Paraboloidal [u, v, phi]

Эллиптические цилиндрические

EllipticCylindrical [u, v, z, a]

Вытянутые сфероидальные

ProlateSpheroidal [xi, eta, phi, a]

Сплющенные сфероидальные

OblateSpheroidal [xi, eta, phi, a]

Биполярные

Bipolar[u, v, z, a]

Бисферические

Bispherical [u, v, phi, a]

Тороидальные

Toroidal [u, v, phi, a]

Конические

Conical [lambda, mu, nu, a, b]

Конфокальные эллипсоидальные

ConfocalEllipsoidal [lambda, rnu, nu, a, b, c]

Конфокальные параболические

ConfocalParaboloidal [lambda, mu, nu, a, bj

Например, параболическую систему координат можно задать следующим образом:
SetCoordinates[Paraboloidal[x, у, z] ]
Paraboloidal [x, у, z]
{CoordinateSystem, Coordinates[]}
{Paraboloidal, {x, y, z}}
Ряд функций служит для контроля и установки параметров систем координат:

  • CoordinateRanges [ ] — возвращает пределы изменения переменных текущей координатной системы;
  • Parameters [ ] — возвращает параметры текущей координатной системы;
  • ParametersRanges [ ] — возвращает пределы изменения параметров текущей координатной системы;
  • CoordinateRanges [coordsys] — возвращает пределы изменения переменных координатной системы coordsys;
  • Parameters [coordsys] — возвращает параметры координатной системы coordsys;
  • ParametersRanges [coordsys] — возвращает пределы изменения параметров координатной системы coordsys;
  • SetCoordinates [coordsys, {vars,param} ] — устанавливает параметры текущей координатной системы как параметры coordsys с переменными vars и параметрами param.

Ниже представлены примеры применения этих функций:
CoordinateRanges[]
{0<Х<бесконечности,0<Y<бесконечность,-л<Z<=л}
Parameters[]
{}
ParameterRanges[ ]
Coordinates[Conical], CoordinateRanges[Conical]
{{Llanibda, Мmu, Nnu}, {-бесконечность< Llambda< бесконечность, l< Mmu2 < 4, Nnu2< 1}}
Parameters[Bipolar],ParameterRanges[Bipolar]
{{1}, 0< #1<бесконечность}
Для преобразования координат служат следующие функции:

  • CoordinatesToCartesian [pt] — преобразование текущих координат в декартовы;
  • CoordinatesToCartesian [pt, coordsys] — преобразование координат coordsys в декартовы;
  • CoordinatesFromCartesian [pt] — преобразование из декартовых координат в текущие;
  • CoordinatesFromCartesian [pt, coordsys] — преобразование из декартовых координат в координаты coordsys.

Эти примеры демонстрируют преобразования координат:
CoordinatesToCartesian[{I, Pi/3, Pi/3}, Spherical]
CoordinatesToCartesian [u, v, phi}, Bipolar]
CoordinatesFromCartesian [ {x, y, z} , Bipolar]

{-2Im[ArcCoth[x+ Iy]] , 2Re[ArcCoth[x+ Iy] ] , z}

Пакет вычислительных функций Calculus

Пакет вычислительных функций Calculus
 
Пакет расширения Calculus содержит представительный набор функций для решения дифференциальных уравнений, задания функций единичного скачка и импульса, выполнения операций с векторами, преобразований Фурье и Лапласа, выполнения спектрального анализа и синтеза, расширенного вычисления пределов и проведения аппроксимаций аналитических функций. Для открытия пакета используется команда Calculus`
Решение дифференциальных уравнений — DSolvelntegrals
Многие нелинейные дифференциальные уравнения не имеют общего решения. В под-пакете DSolvelntegrals определены функции, позволяющие найти решения в форме полного интеграла:

  • Completelntegral [eqn, u [х, у,…], {х, у…} ] — создает полный интеграл для дифференциального уравнения, касательного к и [х, у,…];
  • Differential Invariants [ {eqnsl, eqns2,…}, {u [х] , v [х] ,…}, х} — возвращает список дифференциальных инвариантов для простых переменных {u[x] ,v[x] ,…} и х;
  • Differential Invariants [ {eqnsl, eqns2,…}, {u, v,…}, х} — возвращает список дифференциальных инвариантов для простых переменных {u, v,…} и х;

Применение этих функций поясняют следующие примеры:
<<Calculus`DSolvelntegrals`
Completelntegral[
Derivative[0, 1][u][х, у] == (u[x, у] +
x^2*Derivative[l, 0][u][x, y]^2)/y, u[x,y], {х,у}]
Completelntegral[-u[x, у] +
(2 + y)*Derivative[0, 1][u] [x, y] +
x*Derivative[l, 0][u][x, y] + 3*Derivative[l, 0][u][x, y]^2 == 0,
u[x,y], {x,y}, IntegralConstants->F]
Differentiallnvariants[
{U`[X] == -(U[X] (U[X] +V[X])),
V`-[x] == V[x] (u[x] +V[x])},{u, v}, x]
Дельта-функция Дирака — DiracDelta
В подпакете DiracDelta системы Mathematica 3 задано определение двух полезных функций Дирака:

  • UnitStep [х] — возвращает функцию с единичным скачком при х = 0 (дает значение 0 при х < 0 и 1 при х > 1);
  • DiracDelta [x] — возвращает дельта-функцию Дирака, которая является импульсом с единичной площадью, бесконечно малой шириной в точке х = 0 и бесконечно большой амплитудой.

Рисунок поясняет применение этих функций. Функция UnitStep имеет простую графическую иллюстрацию, тогда как построение графика функции DiracDelta в принципе невозможно — эта функция представляет собой линию бесконечно большой высоты в точке х — 0. Обратите внимание на то, что интеграл от функции Дирака при интегрировании от -°° до +°° равен 1.
Обе описанные функции широко применяются при решении задач автоматического регулирования и при математическом моделировании систем и устройств. Поэтому в системе Mathematica 8 они перешли в разряд встроенных функций.
Улучшенное вычисление пределов — Limit
Подпакет Limit не создает новых функций. Он просто переопределяет встроенную функцию Limit, так что ограничимся примерами его применения:
<<Calculus` Limit`
Limit[Е^х^х/ Е^х^(2 х), x->Infinity]
0
Limit [Е^х^х— Е^х^ (2 х) , x->Infinity]
-бесконечность
Limit[E:x ExpIntegralE[2, ArcTan[E^x]- Pi/2] -E^x- x, x->Infinity]
1 — EulerGamma — I л
Limit[Zeta[l+x, v] — 1/x, x->0]
-PolyGamma[0, v] ,
Limit[x^0 PolyGamma[2,x], x->Infinity] .
0
Limit[x^2 PolyGamma[2,x], x->Infinity]
-1
Limit[x^3 PolyGamma[2,x], x->Infinity]
-бесконечность
Работа скорректированной функции наиболее эффективна при вычислении пределов от выражений, содержащих специальные математические функции, и пределов при х, стремящемся к бесконечности.
Рациональная аппроксимация аналитических функций — Fade
Полиномиальная аппроксимация и обычное разложение функций в ряд Тейлора нередко дают слишком большую погрешность. далее…

Отладка и трассировка программ

Отладка и трассировка программ
 
Отладка программ, за исключением самых простейших, дело далеко не простое. Начальный опыт программирования на любом языке приходит спустя годы практической работы с ним. Эти сроки намного сокращаются, если пользователь всерьез знаком хотя бы с одним, а лучше с несколькими языками программирования.
Но даже такой пользователь нуждается в специальных средствах диагностики и контроля программ. Чем их больше, тем совершеннее система программирования. При этом пользователь-программист должен заботиться и о том, чтобы такие средства входили в программные модули, которые создает он сам.
Некоторые правила культурного программирования
Выше мы описали множество методов программирования на языке системы Mathematica. Попробуем сформулировать некоторые общие правила так называемого культурного программирования с учетом специфики систем Mathematica, позволяющие создавать надежные и эффективные программные средства:

  • Тщательно продумайте алгоритм решения задачи. Порой выбор лучшего алгоритма позволяет кардинально повысить скорость вычислений и упростить программу (впрочем, одновременно это достигается далеко не всегда).
  • Используйте прежде всего возможности функционального программирования — из него родились основы языка программирования систем Mathematica.
  • Разделяйте задачу на малые части и оформляйте их в виде законченных программных модулей — прежде всего функций.
  • Pie скупитесь на программные комментарии — чем их больше, тем понятнее программа и тем больше шансов, что она заинтересует пользователей и будет долго жить. Учтите, что ясность программы в большинстве случаев важнее скорости ее работы.
  • Тщательно готовьте сообщения об ошибках и диагностические сообщения, а также наименования программных модулей и описания их назначения.
  • Тщательно производите диагностику программных модулей, в том числе с самыми безумными значениями и типами параметров — хорошо спроектированный модуль должен диагностировать любые виды ошибочных ситуаций и реагировать на них адекватным образом.
  • Используйте имена переменных и констант в стиле, принятом в Mathematica, и обязательно с использованием понятных по смыслу обозначений. По мере возможности не используйте в именах зарегистрированные идентификаторы команд и функций.
  • Заменяйте циклы функциями обработки списков, например функциями суммирования и произведения. Применяйте эффективные варианты упрощенных операторов и функций.
  • В максимальной степени используйте функции ядра системы. Обращайтесь к пакетам расширений только в том случае, когда это действительно необходимо.
  • Проводите тщательное тестирование своих модулей, в том числе с выполнением их трассировки. Помните, что нет программы, которую нельзя хоть чуть-чуть, но улучшить и сократить. Однако при этом цените затраченное на это время!
  • По мере возможности используйте готовые апробированные программные модули — изобретать велосипед и делать то, что уже сделано, неразумно.
  • Обращайте особое внимание на реализацию механизма контекстов, позволяющего избежать грубых ошибок при модернизации различных объектов программ, прежде всего наборов функций.
  • Не слишком оригинальничайте! Не применяйте программные трюки и недокументированные приемы программирования. Такие программы в момент создания могут выглядеть удивительно эффектными и потрясающе оригинальными, но вполне возможно, что в следующей версии системы они перестанут работать вообще, поскольку разработчики обычно стараются исключить любые недокументированные трюки в своих программах.

Применение этих рекомендаций на практике позволит вам создавать программы, которые нужны не только вам, но и многим пользователям системы Mathematica. Только такие программы могут быть размещены в Интернете и, вполне возможно, войти в пакеты расширения и электронные книги системы Mathematica.
Трассировка программных модулей
В практике подготовки и отладки программ важное значение имеет наличие специальных средств отладки программ по шагам — средств трассировки. далее…

Пакеты-пустышки

Пакеты-пустышки
Разумеется, эти примеры не исчерпывают всего разнообразия пакетов расширений. В сущности, они не дают ничего нового, поскольку приведенные листинги являются просто упрощением гораздо более полных и мощных пакетов, уже входящих в систему. В Mathematica 3 и 4 многие функции из пакетов расширения перекочевали в ядро системы, что позволило существенно ускорить вычисления. Поэтому в пакетах расширения можно встретить определения-пустышки, просто сообщающие об этом и не содержащие новых определений функций. Примером такого рода является модуль countroot.m, листинг которого приведен ниже.
(* :Copyright: Copyright 1994-1996, Wolfram Research, Inc.*)
(* :Summary:All CountRoots functionality is now provided by Algebra’Rootlsolation". The package Algebra’CountRoots" is obsolete.
*)
Needs["Algebraч Rootlsolation’" ]
CountRoots::obslt =
"All CountRoots functionality is now provided by
Algebra’Rootlsolation’.
The package Algebra’CountRoots" is obsolete."
Message[CountRoots::obslt]
Надо прямо сказать, что в области математики пользователь средней квалификации едва ли может придумать что-либо такое, что еще не включено в ядро или в пакеты расширений системы. Разумно готовить такие пакеты лишь для тех специальных областей применения математики, с которыми работает пользователь, — например в области физики, химии, механики, электротехники и радиотехники и т. д. Однако более вероятно, что пользователь предпочтет готовить не пакеты расширений, а пакеты применений.
Пакеты применений — это группы документов с программами, предназначенные для решения определенного класса математических или научно-технических проблем и задач. В отличие от пакетов расширения, в документах пакетов применений обычно дается подробно комментируемое описание всех основных алгоритмов решения задач. При этом комментарий, как правило, выводится на экран дисплея. далее…

Средства создания пакетов расширений

Средства создания пакетов расширений
Для создания пакетов расширений в общем случае используются следующие средства системы:

  • Begin ["context’"] — устанавливает текущий контекст;
  • BeginPackage ["context’"] — делает context единственным активным контекстом. Возможна также форма BeginPackage [ "context" ", { "needl’ ", "need2’",…}];’
  • Return [ ] — возвращает Null;
  • End [ ] — возвращает текущий контекст и переходит к предыдущему;
  • EndAdd [ ] — возвращает текущий контекст и переходит к предыдущему, предварительно добавляя текущий контекст к списку контекстов $Context-Path;
  • EndPackage [ ] — восстанавливает $Context и $ContextPath в их значениях до предшествующего BeginPackage и добавляет текущий контекст к списку $ContextPath;
  • Exit [ ] — завершает сеанс работы Mathematica;
  • Goto [tag] —просматривает текущее составное выражение в поиске Label [tag] и передает управление в эту точку;
  • Interrupt [ ] — производит прерывание в теле вычислений;
  • Label [tag] — представляет точку в составном выражении, в которую управление передается директивой Goto;
  • Quit [ ] — завершает сеанс работы Mathematica.

Приведем пример простого фрагмента программы, дающего определение новой функции ExpandBoth с помощью некоторых из представленных средств:
(* :Title: ExpandBoth *)
(* :Context: ProgramminglnMathematica’ExpandBoth" *)
(* : Author: Roman E. Maeder *)
ExpandBoth: : usage = "ExpandBoth [e] expands all numerators and denominators in e."
Begin ["’ Private1"]
ExpandBoth [x_Plus] := ExpandBoth /@ x
ExpandBoth [x_] := Expand [ Numerator [x] ] / Expand [ Denominator [x] ]
End [ ] Null
Этот пример настолько прост, что читателю будет нетрудно разобраться с его сутью — расширением выражения по числителю и знаменателю. Ниже представлен сеанс работы с этим пакетом, файл которого expboth.m размещен в каталоге mypack, включенном в общий каталог пакетов расширений:
<<mypack\expboth.m
?ExpandBoth
ExpandBoth [e] expands all numerators and denominators in e.
ExpandBoth [124 /12]
31/3
ExpandBoth [1234/12]
617/6
Мы вернемся к рассмотрению построения пакетов расширений после более детального рассмотрения некоторых деталей этого процесса.
Текстовые сообщения и комментарии
Ценность многих программ на любом языке программирования нередко сводится к нулю из-за отсутствия подробных текстовых комментариев. Из-за этого даже сами разработчики программ через месяц-другой перестают понимать собственные творения. А что говорить о пользователях, рискующих применить такие программы?
Для создания текстовых комментариев различного назначения (как выводимых, так и не выводимых на экран в ходе работы с пакетом) в языке программирования системы Mathematica используются следующие средства:

  • (* Comment *) — задание не выводимого на экран текстового комментария, как однострочного, так и многострочного, в любом месте пакета;
  • Message [symbol: : tag] — вывод сообщения symbol::tag, если только вывод сообщений не отключен;
  • Message [symbol: :tag, e1, e2,…] — выводит сообщение, вставляя значения ei по мере необходимости;
  • $MessageList — глобальная переменная, возвращающая список имен сообщений, вырабатываемых во время вычисления текущей входной строки. Имя каждого сообщения заключено в HoldForm [ ]. $MessageList сохраняется в MessageList [n] и переустанавливается в { } после того, как произведена п-я выходная строка;
  • MessageList [n] — глобальный объект, который является списком имен (сообщений), которые вырабатываются в процессе обработки п-й входной строки;
  • MessageName, применяется в виде symbol: : tag или MessageName [symbol, "tag" ] — имя для сообщения;
  • $MessagePrePrint — глобальная переменная, чье значение, если установлено, применяется к выражениям перед тем, как они помещаются в текст сообщений;
  • $Messages — возвращает список файлов и каналов, в которые направляется вывод сообщений;
  • Messages [symbol] — возвращает все сообщения, присвоенные данному символу symbol.

Следует отметить, что широкое применение комментариев обычно является признаком культуры программирования. Это особенно важно для математических систем, реализующих вычисления по сложным и подчас малопонятным для неспециалистов алгоритмам. Без подробных комментариев пакеты расширений и применений теряют свою практическую полезность и превращаются в ребусы — увы, куда менее интересные, чем те, которые публикуются в газетах и журналах.

Система Mathematica 7

Система Mathematica 3
У разных фирм различны подходы к обозначению новых версий своих программных продуктов. MathSoft, Inc., к примеру, за какие-то пять лет породила добрый десяток новых версий популярной системы Mathcad — 3.0, 4.0, 5.0, Plus 5.0, 6.0, Plus 6.0, 7.0, Plus 7.0, 8.0, 8.0 PRO и даже Mathcad 2000 PRO/Premium. И почти каждый раз отмечала их новой цифрой, хотя революционными отличия этих версий друг от друга назвать трудно.
Фирма Wolfram Research, Inc. (разработчик систем Mathematica) явно относится к числу тех фирм, у которых малейший намек на изменение версии означает существенную ее переработку. В итоге версии Mathematica 3 и 4 на фоне более старых Mathematica 2.0, 2.1 и 2.2 выглядят кардинально новыми системами с новым превосходным пользовательским интерфейсом и обширными математическими возможностями.
В июле 1996 г. на бета-тестирование поступила система Mathematica 3. Вскоре (середина 1997 г.) она стала серийным продуктом, начались ее поставки на рынок. Был кардинально переработан пользовательский интерфейс системы, он вобрал в себя массу новинок — от раздельного вывода на экран деталей и панелей интерфейса до мощной и прекрасно реализованной справочной системы. Устранен недостаток предшествующих версий — небольшое число примеров в справочной системе. Все примеры стали «живыми» — их в любой момент можно переиначить на свой лад и перенести в свои документы.
Продолжая линию развития универсального ядра системы, фирма Wolfram обеспечила применение этой системы на целом ряде операционных систем — Windows 95, Windows NT, Macintosh, Power Macintosh, SunOS, Solaris, HP-UX, SGI, Linux и др. Это делает систему доступной самым различным категориям пользователей и позволяет распределять решение математических задач любой сложности по оптимальным для этого компьютерным платформам.
Для системы Mathematica 3 на массовой платформе Windows установлены следующие требования к аппаратной части:

  • процессор Intel 80386 и выше;
  • операционная система Windows 95 или Windows NT 3.51 и старше;
  • дисковое пространство — минимальное 24 Мбайт, стандартное 83 Мбайт и максимальное около 120 Мбайт;
  • запуск с жесткого диска или с CD-ROM;
  • емкость ОЗУ — минимальная 8 Мбайт, желательная 16 Мбайт.

Система поставляется на CD-ROM в комплекте с электронным учебником и документацией. Возможен запуск системы прямо с компакт-диска, что экономит пространство на жестком диске, но замедляет файловые операции. Любопытно отметить, что большую часть памяти на дисках (жестком и CD-ROM) занимает справочная база данных системы.
Из других возможностей системы Mathematica 3 можно отметить:

  • повышение эффективности численных методов, в частности, функций одномерной и многомерной интерполяции, решения дифференциальных уравнений, решения систем линейных уравнений и др.;
  • введение адаптивного контроля за вычислениями численными методами;
  • расширенный диапазон аналитических преобразований, в том числе для уравнений с частными производными;
  • введение новой функции полного упрощения Full Simplify, способной упрощать выражения со специальными математическими функциями;
  • расширение числа форматов файлов, в которых можно сохранять документы (в их числе популярные форматы файлов EPS, TIFF, GIF, HPML и др.);
  • повышенное (полиграфическое) качество документов; О улучшенное использование памяти ОЗУ.

Благодаря этим и другим описанным выше возможностям сферы применения системы Mathematica 3 заметно расширились. Было создано свыше двух десятков профессиональных пакетов расширения системы.