Записи с меткой «рациональную»

Пакет вычислительных функций Calculus

Пакет вычислительных функций Calculus
 
Пакет расширения Calculus содержит представительный набор функций для решения дифференциальных уравнений, задания функций единичного скачка и импульса, выполнения операций с векторами, преобразований Фурье и Лапласа, выполнения спектрального анализа и синтеза, расширенного вычисления пределов и проведения аппроксимаций аналитических функций. Для открытия пакета используется команда Calculus`
Решение дифференциальных уравнений — DSolvelntegrals
Многие нелинейные дифференциальные уравнения не имеют общего решения. В под-пакете DSolvelntegrals определены функции, позволяющие найти решения в форме полного интеграла:

  • Completelntegral [eqn, u [х, у,…], {х, у…} ] — создает полный интеграл для дифференциального уравнения, касательного к и [х, у,…];
  • Differential Invariants [ {eqnsl, eqns2,…}, {u [х] , v [х] ,…}, х} — возвращает список дифференциальных инвариантов для простых переменных {u[x] ,v[x] ,…} и х;
  • Differential Invariants [ {eqnsl, eqns2,…}, {u, v,…}, х} — возвращает список дифференциальных инвариантов для простых переменных {u, v,…} и х;

Применение этих функций поясняют следующие примеры:
<<Calculus`DSolvelntegrals`
Completelntegral[
Derivative[0, 1][u][х, у] == (u[x, у] +
x^2*Derivative[l, 0][u][x, y]^2)/y, u[x,y], {х,у}]
Completelntegral[-u[x, у] +
(2 + y)*Derivative[0, 1][u] [x, y] +
x*Derivative[l, 0][u][x, y] + 3*Derivative[l, 0][u][x, y]^2 == 0,
u[x,y], {x,y}, IntegralConstants->F]
Differentiallnvariants[
{U`[X] == -(U[X] (U[X] +V[X])),
V`-[x] == V[x] (u[x] +V[x])},{u, v}, x]
Дельта-функция Дирака — DiracDelta
В подпакете DiracDelta системы Mathematica 3 задано определение двух полезных функций Дирака:

  • UnitStep [х] — возвращает функцию с единичным скачком при х = 0 (дает значение 0 при х < 0 и 1 при х > 1);
  • DiracDelta [x] — возвращает дельта-функцию Дирака, которая является импульсом с единичной площадью, бесконечно малой шириной в точке х = 0 и бесконечно большой амплитудой.

Рисунок поясняет применение этих функций. Функция UnitStep имеет простую графическую иллюстрацию, тогда как построение графика функции DiracDelta в принципе невозможно — эта функция представляет собой линию бесконечно большой высоты в точке х — 0. Обратите внимание на то, что интеграл от функции Дирака при интегрировании от -°° до +°° равен 1.
Обе описанные функции широко применяются при решении задач автоматического регулирования и при математическом моделировании систем и устройств. Поэтому в системе Mathematica 8 они перешли в разряд встроенных функций.
Улучшенное вычисление пределов — Limit
Подпакет Limit не создает новых функций. Он просто переопределяет встроенную функцию Limit, так что ограничимся примерами его применения:
<<Calculus` Limit`
Limit[Е^х^х/ Е^х^(2 х), x->Infinity]
0
Limit [Е^х^х— Е^х^ (2 х) , x->Infinity]
-бесконечность
Limit[E:x ExpIntegralE[2, ArcTan[E^x]- Pi/2] -E^x- x, x->Infinity]
1 — EulerGamma — I л
Limit[Zeta[l+x, v] — 1/x, x->0]
-PolyGamma[0, v] ,
Limit[x^0 PolyGamma[2,x], x->Infinity] .
0
Limit[x^2 PolyGamma[2,x], x->Infinity]
-1
Limit[x^3 PolyGamma[2,x], x->Infinity]
-бесконечность
Работа скорректированной функции наиболее эффективна при вычислении пределов от выражений, содержащих специальные математические функции, и пределов при х, стремящемся к бесконечности.
Рациональная аппроксимация аналитических функций — Fade
Полиномиальная аппроксимация и обычное разложение функций в ряд Тейлора нередко дают слишком большую погрешность. далее…

Вставка имен функций и списков их параметров

Вставка имен функций и списков их параметров
Запомнить около тысячи функций, входящих в ядро систем Mathematica, также как и правила их записи, довольно сложно. Для облегчения этого служат две заключительные команды меню Input
Первая из них работает, если вы ввели часть ключевого слова в строке ввода. Тогда исполнение команды Complete Selection (Ctrl+K) выводит список имен всех функций, которые начинаются с уже введенных символов. Рисунок поясняет это на примере ввода слова «Plot».
Следующая команда — Make Template — выдает список параметров функции, в имени которой установлен текстовый курсор. Например, если введено слово «Plot» и курсор стоит после него, то команда Make Template приведет к следующему изменению строки ввода:
Plot[f, {x, xmin, xmax}]
Теперь становится ясно, какие параметры имеет эта функция, и редактированием строки ввода можно ввести нужные конкретные значения этих параметров.
Управление работой ядра
 
В этом небольшом разделе рассматриваются достаточно важные вопросы управления ядром систем Mathematica и, в конечном счете, процессом вычислений.
Команды меню Kernel
Меню Kernel служит для управления действиями, проводимыми ядром системы над ячейками загруженного документа. Внешний вид меню Kernel и его подменю Evaluation показан на.
Рассмотрим команды этого подменю более подробно. далее…