Warning: include(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include_once(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82

Warning: include_once(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82
самых | Учебники

Записи с меткой «самых»

Интеграция Maple 15 с MATLAB

Интеграция Maple 15 с MATLAB
Краткие сведения о MATLAB
Несмотря на обширные средства линейной алгебры (да и многие другие), имеющиеся у системы Maple 15, есть системы компьютерной математики, решающие некоторые классы задач более эффективно, и прежде всего быстрее. В области линейной алгебры к таким системам, безусловно, относится система MATLAB, созданная компанией Math Works, Inc. Ее название происходит именно от слов MATrix LABoratory — матричная лаборатория.
MATLAB содержит в своем ядре многие сотни матричных функций и является одной из лучших матричных систем для персональных компьютеров. Она реализует самые современные алгоритмы матричных операций, включая, кстати, и алгоритмы NAG. Однако главное достоинство MATLAB — наличие множества дополнительных пакетов как по классическим разделам математики, так и по самым новейшим, таким как нечеткая логика, нейронные сети, идентификация систем, обработка сигналов и др. Знаменитым стал пакет моделирования систем и устройств Simulink, включаемый в пакет поставки системы MATLAB. Последней версией системы является MATLAB 6.0. В то же время нельзя не отметить, что MATLAB — одна из самых громоздких математических систем. Инсталляция ее полной версии занимает около 1,5 Гбайт дискового пространства. Несмотря на это, интеграция различных математических систем с данной системой, похоже, становится своеобразной модой. Такая возможность предусмотрена и в системе Maple 15 с помощью пакета Matlab.
Загрузка пакета расширения Matlab
Для загрузки пакета Matlab используется команда: .
> with(Matlab); 
[chol, closelink, defined, del, dimensions, eig, evalM,fft, getvar, inv, Iu,ode45, openlink, qr, setvar, size, square, transpose ]
Использование этой команды ведет к автоматическому запуску системы MATLAB (гарантируется работа с версиями MATLAB до 5.3.1 включительно) и установлению необходимой объектной связи между системами Maple 15 и MATLAB.
ПРИМЕЧАНИЕ 
Как нетрудно заметить, данный пакет дает доступ всего к 18 функциям системы MATLAB  (из многих сотен, имеющихся только в ядре последней системы). Таким образом, есть все основания полагать, что возможности MATLAB в интеграции с системой Maple 15 используются пока очень слабо и носят рудиментарный характер. далее…

Примеры матричных операций с применением пакета LinearAlgebra

Примеры матричных операций с применением пакета LinearAlgebra
Применение алгоритмов NAG особенно эффективно в том случае, когда используется встроенная в современные микропроцессоры арифметика чисел с плавающей запятой. С помощью специального флага такую арифметику можно отключать или включать:
> UseHardwareFloats := false; # use software floats
UseHardwareFloats :=false 
> UseHardwareFloats := true: # default behaviour
UseHardwareFloats :=true
Матрицы в новом пакете линейной алгебры могут задаваться в угловых скобках, как показано ниже:

После этого можно выполнять с ними типовые матричные операции. Например, можно инвертировать (обращать) матрицы:

Обратите внимание, что Maple 15 теперь выдает информационные сообщения о новых условиях реализации операции инвертирования матриц с вещественными элементами, и в частности об использовании алгоритмов NAG и арифметики, встроенной в сопроцессор. (
Следующий пример иллюстрирует создание двух случайных матриц Ml и М2 и затем их умножение:

Параметр inplace в функции умножения обеспечивает помещение результата умножения матриц на место исходной матрицы Ml — излюбленный прием создателей быстрых матричных алгоритмов NAG. Поскольку матрицы Ml и М2 за- -даны как случайные, то при повторении этого примера результаты, естественно, будут иными, чем приведенные.
Следующий пример иллюстрирует проведение хорошо известной операции/ LU-разложения над матрицей М, созданной функцией Matrix:

Конечной целью большинства матричных операций является решение систем линейных уравнений. Для этого пакет LinearAlgebra предлагает великое множество методов и средств их реализации. Мы ограничимся простым примером одновременного решения сразу трех систем уравнений. Дабы не загромождать книгу массивными выражениями, ограничимся решением систем из двух линейных уравнений, матрица коэффициентов у которых одна, а векторы свободных членов разные. Ниже показан пример решения такой системы:
 

На этом, учитывая ограниченный объем книги, мы завершаем обзор пакета LmearAlgebra. Читатель, познающий или знающий методы линейной алгебры, может опробовать в работе любые функции этого пакета самостоятельно или познакомиться со множеством примеров, размещенных в справочной системе Maple 15. Возможности пакетов linalg и LinearAlgebra удовлетворят самых требовательных специалистов в этой области математики. 

Пакет решения задач линейной алгебры linalg

Пакет решения задач линейной алгебры linalg
Состав пакета linalg
Несомненно, что уникальной возможностью системы Maple 15, как и других систем компьютерной алгебры, является возможность решения задач линейной алгебры в символьном (формульном, аналитическом) виде. Однако такое решение представляет скорее теоретический, чем практический интерес, поскольку даже при небольших размерах матриц (уже при 4-5 строках и столбцах) символьные результаты оказываются очень громоздкими и труднообозримыми. Они полезны только при решении специфических аналитических задач, например с разреженными матрицами, у которых большинство элементов имеют нулевые значения.
Поэтому разработчики Maple 15 были вынуждены реализовать в своей системе численные методы решения задач линейной алгебры, которые широко используются в основных сферах ее приложения — математическом моделировании систем и устройств, расчетах в электротехнике, механике, астрономии и т. д.
В ядро Maple 15, как отмечалось, введены очень скромные и минимально необходимые средства для решения задач линейной алгебры. Основной упор в их реализации сделан на подключаемые пакеты. Основным из них, унаследованным от предшествующих реализаций системы, является пакет решения задач линейной алгебры Unalg. Это один из самых обширных и мощных пакетов в области решения задач линейной алгебры. Он содержит свыше ста функций:
> with(linalg); 
Warning, the names fibonacci, inverse and multiply have been redefined Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected[BlockDiagonal, GramSchmidt, JordanBlock, LUdecomp, QRdecomp, Wronskian, addcol, addrow, adj, adjoint, angle, augment, backsub, band, basis, bezout, blockmatrix, charmat, charpoly, cholesky, col, coldim, colspace, colspan, companion, concat, cond, copyinto, crossprod, curl, definite, delcols, delrows, det, diag, diverge, dotprod, eigenvals, eigenvalues, eigenvectors, eigenvects, entermatrix, equal, exponential, extend, ffgausselimfifibonacci,forwardsub,frobenius, gausselim, gaussjord, geneqns, genmatrix, grad, hadamard, hermite, hessian, hilbert,htranspose, thermite, indexfunc, innerprod, intbasis, inverse, ismith, issimilar, iszerojacobian, Jordan, kernel, laplacian, leastsqrs, linsolve,matadd, matrix, minor, minpoly, mulcol, /им/row,multiply, norm, normalize, nullspace, orthog, permanent, pivot, potential, randmatrix, randvector, rank, ratform, row, rowdim, rowspace, rowspan, rref, scalarmul, singularvals, smith, stackmatrix, submatrix, subvector, sumbasis, swapcol, swaprow, Sylvester, toeplitz, trace, transpose, vandermonde, vecpotent, vectdim, vector, wronskian] 
Ниже указано назначение тех функций пакета linalg, которые подробно не описаны:

  •  addcol — добавляет к одному из столбцов другой столбец, умноженный на некоторое число;
  •  addrow — добавляет к одной из строк другую строку, умноженную на некоторое число;
  •  angle — вычисляет угол между векторами;
  •  augment — объединяет две или больше матриц по горизонтали;
  •  backsub — реализует метод обратной подстановки при решении системы линейных уравнений (см. также forwardsub);
  •  band — создает ленточную матрицу;
  •  basis — находит базис векторного пространства;
  •  bezout — создает Bezout-матрицу двух полиномов; . г
  •  BlockDiagonal — создает блок-диагональную матрицу;
  •  blockmatrix — создает блок-матрицу;
  •  cholesky — декомпозиция Холесского для квадратной положительно определенной матрицы;
  •  charmat — создает характеристическую матрицу (charmat(M,v) — матрица, вычисляемая как v E-M);
  •  charpoly — возвращает характеристический полином матрицы;
  •  colspace — вычисляет базис пространства столбцов;
  •  colspan — находит базис линейной оболочки столбцов матрицы;
  •  companion — вычисляет сопровождающую матрицу, ассоциированную с полиномом;
  •  cond — вычисляет число обусловленности матрицы (cond(M) есть величина norm(M) norm(М-1);
  •  curl — вычисляет ротор вектора;
  •  definite — тест на положительную (отрицательную) определенность матрицы;
  •  diag — создает блок-диагональную матрицу;
  •  diverge — вычисляет дивергенцию векторной функции;
  •  eigenvals — вычисляет собственные значения матрицы;
  •  eigenvects — вычисляет собственные векторы матрицы;
  •  equal — определяет, являются ли две матрицы равными;
  •  exponential — создает экспоненциальную матрицу;
  •  ffgausselim — свободное от дробей Гауссово исключение в матрице;
  •  fibonacci — матрица Фибоначчи;
  •  forwardsub — реализует метод прямой подстановки при решении системы линейных уравнений (например, для матрицы L и вектора b
  •  forwardsub(L, b) возвращает вектор решения х системы линейных уравнений L-x=b);
  •  frobenius — вычисляет форму Фробениуса (Frobenius) матрицы;
  •  gausselim — Гауссово исключение в матрице;
  •  gaussjord — синоним для rref (метод исключения Гаусса—Жордана);
  •  geneqns — генерирует элементы матрицы из уравнений;
  •  genmatrix — генерирует матрицу из коэффициентов уравнений;
  •  grad — градиент векторного выражения;
  •  GramSchmidt — вычисляет ортогональные векторы;
  •  hadamard — вычисляет ограничение на коэффициенты детерминанта;
  •  hessian — вычисляет гессиан-матрицу выражения;
  •  hilbert — создает матрицу Гильберта;
  •  htranspose — находит эрмитову транспонированную матрицу;
  •  ihermite — целочисленная эрмитова нормальная форма;
  •  indexfunc — определяет функцию индексации массива;
  •  Innerprod — вычисляет векторное произведение;
  •  Intbasis — определяет базис пересечения пространств;
  •  ismith — целочисленная нормальная форма Шмитта;
  •  iszero — проверяет, является ли матрица ноль-матрицей;
  •  jacobian —’ вычисляет якобиан векторной функции;
  •  JordanBlock — возвращает блок-матрицу Жордана;
  •  kernel — находит базис ядра преобразования, соответствующего данной матрице;
  •  laplacian — вычисляет лапласиан;
  •  leastsqrs — решение уравнений по методу наименьших квадратов;
  •  linsolve — решение линейных уравнений;
  •  LudeComp — осуществляет LU-разложение;
  •  minpoly — вычисляет минимальный полином матрицы;
  •  mulcol — умножает столбец матрицы на заданное выражение;
  •  mulrow — умножает строку матрицы на заданное выражение;
  •  multiply — перемножение ‘матриц или матрицы и вектора;
  •  normalize — нормализация вектора;
  •  orthog — тест на ортогональность матрицы;
  •  permanent — вычисляет перманент матрицы — определитель, вычисляемый без перестановок;
  •  pivot — вращение относительно элементов матрицы;
  •  potential — вычисляет потенциал векторного поля;
  •  Qrdecomp — осуществляет QR-разложение;
  •  randmatrix — генерирует случайные матрицы;
  •  randvector — генерирует случайные векторы;
  •  ratform — вычисляет рациональную каноническую форму;
  •  references — выводит список основополагающих работ по линейной алгебре;
  •  rowspace — вычисляет базис пространства строки;
  •  rowspan — вычисляет векторы охвата для места столбца;
  •  rref — реализует преобразование Гаусса-Жордана матрицы;
  •  scalarmul — умножение матрицы или вектора на заданное выражение;
  •  singval — вычисляет сингулярное значение квадратной матрицы;
  •  singularvals — возвращает список сингулярных значений квадратной матрицы;
  •  smith — вычисляет Шмиттову нормальную форму матрицы;
  •  submatrix — извлекает указанную подматрицу из матрицы;
  •  subvector — извлекает указанный вектор из матрицы;
  •  sumbasis — определяет базис объединения системы векторов;
  •  swapcol — меняет местами два столбца в матрице;
  •  swaprow — меняет местами две строки в матрице;
  •  sylvester — создает матрицу Сильвестра из двух полиномов;
  •  toeplitz — создает матрицу Теплица;
  •  trace — возвращает след матрицы;
  •  vandermonde — создает вандермондову матрицу;
  •  vecpotent — вычисляет векторный потенциал;
  •  vectdim — определяет размерность вектора;
  •  wronskian — вронскиан векторных функций.

Ниже мы рассмотрим более подробно наиболее часто используемые функции из этого пакета. С деталями синтаксиса (достаточно разнообразного) для каждой из указанных функций можно ознакомиться в справочной системе Maple. далее…

Паде-аппроксимация с полиномами Чебышева

Паде-аппроксимация с полиномами Чебышева
Для многих аналитических зависимостей хорошие результаты дает аппроксимация полиномами Чебышева. В общем случае применяется Паде-аппроксимация отношением таких полиномов. Она реализуется функциями chebpade:
chebpade(f, x=a..b, [m.n])
chebpade(f., x, [m.n])
chebpade(f, a..b, [m,n])
Здесь а..b задает отрезок аппроксимации, тип— максимальные степени числителя и знаменателя полиномов Чебышева. Приведенный ниже пример показывает аппроксимацию Паде полиномами Чебышева для функции f=cos(x):

Наилучшая минимаксная аппроксимация
Минимаксная аппроксимация отличается от Паде-аппроксимации минимизацией максимальной абсолютной погрешности во всем интервале аппроксимации. Она использует алгоритм Ремеза (см. ниже) и реализуется следующей функцией:
mimmax(f, x=a..b, [m.n], w, ‘maxerror’) 
minimax(f, a..b, [m,n], w, ‘maxerror’)
Здесь помимо уже отмеченных параметров w — процедура или выражение, maxerror — переменная, которой приписывается значение miniraax-нормы. Ниже дан пример аппроксимации функции cos(x) в интервале [-3, 3]:

Наилучшая минимаксная аппроксимация по алгоритму Ремеза
Для получения наилучшей полиномиальной аппроксимации используется алгоритм Ремеза, который реализует следующая функция:
remez(w, f, a, b, m, n,_crit, ‘maxerror’)
Здесь w — процедура, представляющая функцию w(x) > 0 в интервале [a, b], f — процедура, представляющая аппроксимируемую функцию а и b — числа,’ задающие интервал аппроксимации fa,b], m и n — степени числителя и знаменателя аппроксимирующей функции, crit — массив, индексированный от 1 до m + n + 2 и представляющий набор оценок в критических точках (то есть точек максимума/минимума кривых погрешности), mахеrrоr — имя переменной, которой присваивается минимаксная норма w abs(f -r).
Следующий пример иллюстрирует применение данной функции для аппроксимации функции erf(x):

Другие функции пакета
Отметим назначение других функций пакета numapprox:

  •  chebdeg(p) — возвращает степень полинома Чебышева р;
  •  chebmult(p, q) — умножение полиномов Чебышева р и q;
  •  chebsort(e) — сортирует элементы ряда Чебышева;
  •  confracform(r) — преобразует рациональное выражение г в цепную дробь;
  •  confracform(r, х) — преобразует рациональное выражение г в цепную дробь с независимой переменной х; 
  •  hornerform(r) — преобразует рациональное выражение г в форму Горнера;
  •  hornerform(r, х) — преобразует рациональное выражение г в форму Горнера с независимой переменной х; 
  •  infnorm(f, x=a…b, ‘xmax’) — возвращает L-бесконечную норму функции на отрезкех [а, b];
  •   infnorm(f, a…b, ‘xmax’) — возвращает L-бесконечную норму функции на отрезке [а, b].

Действие этих функций очевидно, и читатель может самостоятельно опробовать их в работе.
Пакет интегральных преобразований inttrans
Общая характеристика пакета
Это один из пакетов, наиболее важных для общематематических и научно-технических приложений. Он содержит небольшой набор функций:
> with(inttrans):
[addtable,fourier,fouriercos,fouriersin, hankel, hilbert, invfourier, invhilbert, invldplace, invmellin, laplace, mellin, savetable]
Однако эти функции охватывают такие практические важные области математики, как ряды Фурье, прямые и обратные преобразования Лапласа и Фурье и ряд других интегральных преобразований. далее…

Пакет для работы с суммами sumtools

Пакет для работы с суммами sumtools
Состав пакета sumtools
Этот инструментальный пакет предназначен для работы со специальными суммами. Он содержит указанные ниже функции:
> with(suintools);
[Hypersum, Sumtohyper, extended_gosper, gosper, hyperrecursion, hypersum, hyperterm, simpcomb, sumrecursion, sumtohyper]
Назначение функций данного пакета перечислено ниже:

  •  hypersum(U, L, z, n) и Hypersum(U, L, z, n) — вычисление гиперсумм;
  •  sumtohyper(f, k) и Sumtohyper(f, k) — преобразование сумм в гиперсуммы;
  •  extended_gosper(f, k), extended_gosper(f, k=m..n) и extended_gosper(f, k, j) — реализация расширенного алгоритма Госпера;
  •  gosper(f, k) и gosper(f, k=m..n) — реализация алгоритма Госпера;
  •  hyperrecursion(U, L, z, s(n)) — реализация гиперрекурсионного алгоритма;
  •  hyperterm(U, L, z, k) и Hyperterm(U, L,z, k) — ввод гипергеометрического терма.

Работа с пакетом sumtools
Приведем примеры на применение этих функций:
 
Из этих примеров применение функций данного пакета достаточно очевидно.
Пакет реализации степенных разложений powseries
Состав пакета powseries
Степенные разложения часто используются в математических расчетах для приближенного представления разнообразных функций и обеспечения единообразия такого представления. В пакете powseries сосредоточены расширенные средства по реализации таких разложений. Они представлены 22 функциями:
> with(powseries);
[compose, evalpow, inverse, multconst, multiply, negative, pawadd, powcos, powcreate, powdijff, powexp, powint, powlog, powpoly, powsin, powsolve, powsqrt, quotient, reversion, subtract, template, tpsform ]
Ниже представлено определение этих функций:

  •  compose(а,b) — объединяет ряды а и b;
  •  evalpow(expr) — вычисляет выражение ехрr и возвращает его в виде ряда;
  •  inverse(р) — инвертирует ряд р;
  •  mu1tconst(p,const) — умножает ряд р на константу const; ,
  •  multiply(a,b) — умножает ряд а на ряд b;
  •  negative(p) — возвращает аддитивный, обратный по отношению к р ряд;
  •  powadd(a,b,…) — складывает ряды а, b, …;
  •  powcreate(expr) — создает ряд для выражения ехрr;
  •  powpoly(pol ,var) — создает ряд для полинома pol по переменной van;
  •  powsolve(sys) — создает ряд для решения дифференциальных уравнений sys;
  •  quotient(a,b) — возвращает частное для а и b в виде ряда;
  • reversion(a) — дает обратное к композиции разложение ряда а;
  •  subtract(а,b) — дает разность рядов а и b.

В выражении ехрr могут использоваться операторы +, -, *, / и  ^. С ними могут комбинироваться встроенные функции и функции пользователя, например /(g). Кроме того, могут использоваться следующие функции:

Powexp

powi nv

powlog

powneg

powrev

Powdiff

powi nt

powquo

powsub

powcos

Powtan

powsec

powcsc

powcot

powsinh

Powcosh

powtanh

powsech

powcsch

powcot h.

Powsqrt

powadd

multiply

 

Примеры применения пакета powseries
Назначение большинства этих функций очевидно из их названий — они возвращают соответствующую функцию (указанную после слова pow в имени) в виде разложения в ряд или полинома. Например, powexp раскладывает выражения с экспоненциальными функциями в ряд.
Получаемые функциями ряды представляются в специальном формате. Поэтому для их применения в обычном виде необходимо использовать функцию tpsform в следующих видах:

  •  tpsform(p, var, order) — преобразует ряд р в обычную форму с заданием порядка order;
  •  tpsform(p, var) — преобразует ряд р в обычную форму с порядком, заданным переменной Order.

Здесь р — имя степенного ряда, var.— переменная, относительно которой записан ряд, order — порядок ряда. Если параметр order не указан, используется значение глобальной переменной Order. Ниже даны примеры, иллюстрирующие технику работы со степенными разложениями:

Применение функций этого пакета достаточно просто и прозрачно, так что заинтересованный читатель может сам опробовать на примерах работу тех функций, которые не были использованы в приведенных примерах.

далее…

Пакет combstruct

Пакет combstruct
Еще девять функций, относящихся к структурам комбинаторики, содержит пакет combstruct:
> with(combstruct):
[allstructs, count, draw,finished, gfeqns, gfseries, gfsolve, iterstritcts, nextstruct]
Эти функции служат для создания случайно однородных объектов, принадлежащих заданному комбинаторному классу. Ограничимся приведением примеров применения этих функций:
> alltructs(Subset({one,two}));
{{ },{one, two}, {two}, {one}}
 > anstructs(Permutation([x,y,z]),size=2):
[[x,y],[x,z],[y,x],[y,z],[z,x],[z,y]] 
> count(Subset({l,2,3}));

> draw(Combiination(5),size=4);
{1,3,4,5}
> count(Permutation([a,a,b])): .
3
> 1t :=iterstructs(Permutation([a,a,b]),size=2);
it := table([finished = false, nextvalue = (pmc() … endproc )])
 > draw(Partition(9));
[2,2,2,3]
 > allstructs(Composition(3), size=2):
[[2,l],[l,2]]
Для более полного знакомства с этими специфическими функциями обратитесь к справочной системе.
Пакет финансово-экономических функций finance
Пакет финансово-экономических расчетов открывается командой:
 > with(finance)
[amortization, annuity, blackscholes, cashflows, effectiverate,futurevalue, growingannuity, growingperpetuity, levelcoupon, perpetuity, presentvalue, yieldtomaturity]
Этот пакет представлен рядом указанных выше функций в двух формах:
function(args)
finance[function](args).
Благодаря правилам задания аргументов можно реализовать практически все известные финансово-экономические расчеты, такие как амортизация, накопления и платежи по вкладам и т. д. В свете задач рыночной экономики эти функции полезны для приверженцев решения всего на свете без выхода из оболочки Maple. Все же надо отметить, что малозаметные тонкости в определении финансово-экономических функций затрудняют их применение. далее…