Записи с меткой «упрощение»

Разложение функций в ряды

Разложение функций в ряды
 
Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена
Одна из широко распространенных математических задач представления данных — разложение заданной аналитической функции в степенной ряд Тейлора относительно некоторой узловой точки с абсциссой хО. Такой ряд нередко проще самой функции (в том смысле, что не требует вычисления даже элементарных функций и вычисляется с помощью только арифметических операций) и дает единообразное представление для разлагаемых функций в виде обычных степенных многочленов.
Большинство достаточно гладких функций, не имеющих разрывов в области р"аз-ложения, довольно точно воспроизводятся рядом Тейлора. Как правило, такие разложения достаточно просты в окрестностях узловой точки разложения.
Для разложения в ряд используются следующие функции системы Mathematical

  • Series[f, {х, х0, п}]— выполняет разложение в степенной ряд функции f в окрестности точки х=х0 по степеням (х-х0) ^ n;
  • Series [f, {х, х0, nх}, {у, у0, nу}] — последовательно ищет разложения в ряд сначала по переменной у, затем по х;
  • SeriesCoef ficient [s,n] — возвращает коэффициент при переменной n-й степени ряда s;
  • SeriesData [х, х0, {а0, al,…}, nmin, nmax, den] —представляет степенной ряд от переменной х в окрестности точки х0. Величины ai являются коэффициентами степенного ряда. Показатели степеней (х-х0) представлены величинами nmin/den, (nmin+1) /den, …, nmax/den.

Суть разложения функции в степенной ряд хорошо видна из разложения обобщенной функции/(д:), представленного на (выходные ячейки имеют стандартный формат).
В первом примере разложение идет относительно исходной точки х0=0, что соответствует упрощенному ряду Тейлора, часто называемому рядом Маклорена. Во втором случае разложение идет относительно исходной точки х0, отличной от нуля. Обычно такое разложение сложнее и дает большую остаточную погрешность. далее…