Записи с меткой «уравнений»

Нули функций Бесселя — BesselZeros

Нули функций Бесселя — BesselZeros
В подпакете BesselZeros определены функции, дающие список аргументов функций Бесселя в их первых п нулевых точках: BesselJZeros [mu, n], Bessel-YZeros[mu,n], BesselJPrimeZeros[mu,n], BesselYPrimeZeros[mu,n] и др. Ввиду редкого использования функций этого класса ограничимся парой примеров их применения:
<<NumericalMath`BesselZeros`
BesselJZeros[0, 5]
{2.40483, 5.52008, 8.65373, 11.7915, 14.9309}
BesselJYJYZeros[2, 6/5, 3, WorkingPrecision -> 20]
{15.806622444176579073, 31.46556009153683, 47.1570167108650315}
 
Поиск корней уравнений с интерполяцией — InterpolateRoot
Подпакет InterpolateRoot дает средства для ускоренного и более точного поиска корней уравнений по сравнению с соответствующими функциями ядра. Достигается это за счет применения интерполяции функции, корни которой ищутся. Под-пакет задает функцию InterpolateRoot [f, {х, a, b} ], которая находит корень функции f в интервале х от а до b. Вместо функции f можно задавать уравнение eqn. Возможны опции AccuracyGoal->Automatic, Maxlterations->15, WorkingPrecision->$MachinePrecision и ShowProgress->False (указаны принятые по умолчанию значения).
Примеры применения данной функции (n — число итераций):
<<NumericalMath` InterpolateRoot`
n = 0; FindRoot[n++; Exp[x] == 2, {x, 0, 1},
WorkingPrecision -> 100, AccuracyGoal -> 95]
{x->
0.693147180559945309417232121458176568075500134360255 2541206800094933936219696947156058633269964186876}
n
17
n = 0; f[x_] := (n++; Exp[x]-2) /; NumberQ[x]
InterpolateRoot[f[x], {x, 0, 1), WorkingPrecision -> 100,
AccuracyGoal -> 95]; n 10
InterpolateRoot[Exp[x] ==2, {x, 0, 1},ShowProgress -> True,
WorkingPrecision -> 40]
{0, 0.58197670686932642439}
{21, 0, -0.12246396352039524100}
{1, 0.7019353037882764014443370764853594873432}
{21, 20, 0.0130121629575404389120930392554}
{3,0.6932065772065263165289985793736618546663}
{21, 20, 0.000062480788747713548804773113708}
{6, 0.6931471932603933841618726058237307884661}
{21, 20, 1.26443483693584888038460396742xHT8}
{12, 0.693147180559945119457822446
95590259222308309027205042483074}
{40, 20, -1.89953767048152086910014102216x 10-16}
{24, 0.6931471805599453094172321214

5786257157118117337249076750141}

Sensitivity

Sensitivity

  • Sensitivity — чувствительность в режиме по постоянному току.
  • Чувствительность в режиме малого сигнала рассчитывается по директиве SENS <выходная переменная>*
    Чувствительность рассчитывается после линеаризации цепи в окрестности рабочей точки. По директиве .SENS рассчитывается чувствительность каждой из указанных выходных переменных к изменению параметров всех компонентов и моделей. Поэтому объем результатов расчета чувствительностей может быть огромным. Результаты расчета выводятся в файл .out. Выходные переменные указываются по тому же формату, что и в директивах .PRINT для режимов TRAN и DC. При этом накладывается ограничение: если выходная переменная должна быть током, то допускается только ток через независимые источники напряжения.
    Приведем пример. Если предположить, что цепь состоит из компонентов R1, R2, С1 и т.д., то по директиве
    .SENS V(9) V(4,3) I(VCC)
    будут рассчитаны чувствительности
    dV(9)/dRl, dV(9)/dR2, dV(9)/dC1, .,,, dV(4,3)/dR1 …
    При работе с управляющей оболочкой Schematics имена выходных переменных указываются в диалоговом окне, открывающемся после нажатия на кнопку Sensitivity в меню выбора директив моделирования.

  • Temperature — вариация температуры. Вариация температуры производится по директиве
  • .TEMP <температура>*
    Здесь указывается список значений температуры (по шкале Цельсия), для которых следует выполнить все указанные в задании директивы анализа характеристик. Если указано несколько значений температуры, то все виды анализа проводятся для каждой температуры. далее…

    Начинающим пользователям

    Начинающим пользователям
    Начинающим пользователям рекомендуется воспользоваться установкой параметров директивы .OPTIONS по умолчанию и изменять их по мере надобности после приобретения опыта моделирования.
    В процессе моделирования программа PSpice генерирует различные сообщения, которые передаются в выходной файл и файл данных для программы Probe. Список сообщений о специфических ошибках в процессе, моделирования цифровых устройств приведен.
    Статистические сведения о задании выводятся в выходной файл с расширением .OUT при введении опции АССТ в директиве .OPTION. Перечень выводимых данных приведен.
    Данные, помещаемые в выходном файле

    Параметр

    Значение

    NUNODS

    Количество узлов схемы устройства без учета подсхем

    NCNODS

    Количество узлов схемы устройства с учетом подсхем

    NUMNOD

    Общее количество узлов схемы замещения устройства с учетом внутренних узлов встроенных моделей компонентов

    NUMEL

    Общее количество компонентов устройства с учетом подсхем

    DIODES

    Количество диодов с учетом подсхем

    BJTS

    Количество биполярных транзисторов с учетом подсхем

    JFETS

    Количество полевых транзисторов с учетом подсхем

    MFETS

    Количество МОП-транзисторов с учетом подсхем

    GASFETS

    Количество арсенид-галлиевых полевых транзисторов с учетом подсхем

     

    Параметр

    Значение

    IGBTS

    Количество статически индуцированных биполярных транзисторов с учетом подсхем

    NDIGITAL

    Количество цифровых устройств с учетом подсхем

    NSTOP

    Размерность воображаемой матрицы цепи (фактически не все элементы разреженных матриц хранятся в памяти)

    NTTAR

    Фактическое количество входов в матрице цепи в начале вычислений

    NTTBR

    Фактическое количество входов в матрице цепи в конце вычислений

    NTTOV

    Количество ненулевых элементов матрицы цепи

    IFILL

    Разность между NTTAR и NTTBR

    IOPS

    Количество операций с плавающей запятой, необходимых для решения одного матричного уравнения цепи

    PERSPA

    Степень разреженности матрицы цепи в процентах

    NUMTTP

    Количество шагов интегрирования переходного процесса

    NUMRTP

    Количество моментов времени при расчете переходного процесса, при которых шаг интегрирования был слишком велик и расчет повторен с меньшим шагом

    NUMNIT

    Общее количество итераций при расчете переходного процесса

    DIGTP

    Количество временных шагов при логическом моделировании

    DIGEVT

    Количество логических событий

    DIGEVL

    Количество вычислений логических состояний цифровых устройств

    MEMUSE

    Размер используемой области ОЗУ в байтах

    Matrix solution

    Время, затраченное на решение матричного уравнения

    Matrix load

    Время, затраченное на составление уравнений компонентов

    READIN

    Время, затраченное на чтение входного файла и поиск ошибок в нем

    SETUP

    Время, затраченное на формирование матрицы цепи

    DC sweep

    Время, затраченное на расчет передаточных функций по постоянному току

    Bias point

    Время, затраченное на расчет режима по постоянному току в рабочей точке

    Digital simulation

    Время, затраченное на вычисление логических состояний цифровых устройств

    AC and noise

    Время, затраченное на расчет в частотной области

    Transient analysis

    Время, затраченное на расчет переходного процесса

    Monte Carlo

    Время, затраченное на выполнение директив .МС и .WCASE

    OUTPUT

    Время, затраченное на переформатирование данных, необходимое перед выполнением директив .PRINT и .PLOT

    OVERHEAD

    Время, затраченное на выполнение задания

    Total job time

    Общее время выполнения задания, за исключением времени, затраченного на загрузку файлов программы PSpice

     

  • Parametric — многовариантный анализ. Вариация параметров назначается по директиве .STEP, имеющей следующие разновидности:
  • .STEP [LIN] <имя варьируемого параметра> <начальное значение> + <конечное значение> <шаг приращения параметра>
    .STEP [ОСТ] [DEC] <имя варьируемого параметра>
    + <начальное значение> <конечное значение> <количество точек>
    .STEP <имя варьируемого параметра> LIST < значение>*
    На каждом шаге вариации параметров по очереди выполняются все виды анализа характеристик цепи, задаваемых директивами .DC, .AC, .TRAN и др. Варьироваться могут все параметры всех моделей компонентов и глобальные параметры за исключением:

    • параметров L и W МОП-транзистора (разрешается варьировать аналогичные параметры LD и WD);
    • температурных коэффициентов TCI, TC2 резисторов и других компонентов.

    Приведем примеры:
    .STEP VIN -.8 .8 .2 .STEP LIN I2 5mA-2mA-0.1mA
    .STEP RES RMOD(R) 0.9 1.1 0.05
    .STEP TEMP LIST 0 20 27 50 80
    .STEP PARAM VPOWER 4 6 0.2
    Ключевое слово PARAM в последнем примере указывает, что после него следует имя глобального параметра, определенного ранее по директиве .PARAM.
    Дадим пояснения, как с помощью директивы .STEP организовать многовариантный анализ.
    Например, многовариантный анализ переходных процессов при изменении амплитуды А гармоиического сигнала реализуется следующим образом:
    .PARAM A=0
    VSIGNAL1 OSIN(0{A}1kHz)
    .STEP PARAM A LIST 12510 TRAN 0.1ms 5ms
    Обратим внимание, что при вариации глобальных параметров их необходимо предварительно объявить по директиве .PARAM.
    Изменение сопротивления резистора (и параметров других пассивных компонентов) осуществляется двояко. Во-первых, с помощью глобального параметра
    .PARAM P=1
    R1 2 О {Р}
    .STEP PARAM P 15,45,10
    Во-вторых, используя модель резистора
    .MODEL RMOD RES(R=15)
    R1 2 О RMOD 1
    .STEP RES RMOD(R) 15,45,10
    Здесь RMOD — имя модели резистора; RES — тип модели; R — имя варьируемого параметра.
    В связи с тем, что многовариантный анализ производится также с помощью директив .TEMP, .MC, .WCASE и .DC, в одном задании на моделирование вместе с директивой .STEP разрешается помещать только одну из них. Две директивы .STEP в одном задании не допускаются.

    При работе с управляющей оболочкой Schematics спецификация варьируемых параметров выполняется в диалоговом окне, открывающемся после нажатия на кнопку Parametric в меню выбора директив моделирования. Назначение его полей такое же, как и для директивы DC Sweep .

    Особенности интерфейса Mathematica 8

    Особенности интерфейса Mathematica 8
    Интерфейс системы Mathematica 8 в целом повторяет интерфейс третьей версии, кратко описанный выше. Однако ряд внешне незаметных, но существенных новинок все же введен:

    • улучшена плавная прокрутка больших документов;
    • введен экспорт табличных данных;
    • улучшены возможности создания документов в стиле Notebook;
    • добавлена панель ввода шаблонов ЗD-фигур;
    • расширена поддержка преобразований файлов в формат HTML;
    • введена дополнительная команда для вывода в формате ТеХ;
    • обеспечена поддержка дополнительных наборов символов, включая символы китайского и корейского языков;
    • переработаны редакторы программ с цветной раскраской листингов;
    • улучшены средства отладки программ;
    • улучшена связь программных модулей.

    Средства Mathematica 8 позволяют готовить документы в стиле Notebook на самом высоком полиграфическом уровне воспроизведения текстов, математических формул и графиков. Общий вид одного из таких документов, содержащего рисунок с высоким разрешением, представлен на рис. 2.3.
    Размеры блокнота практически не ограничены, и он может быть распечатан во всей красе с помощью цветного струйного или лазерного принтера.
    В новых версиях Mathematica появилась возможность подготовки документов в виде, непосредственно пригодном для их отправки по сети Интернет. Для этого потребовалось создание специальных средств для неискаженной передачи математических выражений (формул). В результате фирмой Wolfram был создан специальный стандарт MathML, позволяющий устанавливать документы системы Mathematica 8 на W3C Web-узлах. В настоящее время этот стандарт поддержан многими ведущими компьютерными компаниями. По существу, он является расширением языка гипертекстовых ссылок HTML. далее…

    Улучшенные математические возможности

    Улучшенные математические возможности
    Математические возможности системы Mathematica 8 существенно пополнены и улучшены. В частности, обеспечены следующие возможности:

    • прямая поддержка линейной алгебры разреженных матриц;
    • экспериментальная поддержка кванторного исключения с использованием цилиндрического алгебраического разложения;
    • экспериментальная поддержка символьной оптимизации;
    • быстрая свертка и корреляция для массивов любого размера и размерности;
    • новые улучшенные алгоритмы для преобразований Фурье;
    • ускоренное вычисление полиномиальных уравнений;
    • новые алгоритмы для функции минимизации FindMinimum;
    • расширение возможностей матричных преобразований;
    • алгебраическая вычислительная поддержка для функций символьных преобразований Simplify, FunctionExpand и связанных с ними других функций;
    • расширение возможностей функций преобразования FullSimplify и FunctionExpand;
    • упрощение полиномиальных и других неравенств;
    • полная улучшенная поддержка символьных преобразований Лапласа и Фурье;
    • расширенные возможности решения трансцендентных уравнений;
    • ускоренное неоднократное дифференцирование;
    • поддержка ряда новых специальных функций (Дирака, Струве, обобщенных логарифмов, двумерных гипергеометрических функций Аппеля, полилогарифмов Ньелсена, гармонических функций, различных констант и т. д.);
    • новые оптимизированные методы для оценивания е, n и других констант с очень высокой точностью;
    • полная поддержка для непрерывных дробей и периодических цифровых последовательностей ;
    • прямая поддержка поразрядных операций.

    Из видно, что на преобразование Фурье массива 500×500 элементов Mathematica 8 затратила около 2 с. Для сравнения отметим, что Mathematica 3 выполнила ту же работу за 11 с, то есть ускорение преобразования Фурье оказывается более чем пятикратным.
    Рисунок иллюстрирует возможности выполнения интегральных преобразований Лапласа и Фурье в символьном виде.
    Некоторые другие примеры использования, характерные для системы Mathematica 8, можно найти на Интернет-странице фирмы Wolfram.
     
    Улучшенная поддержка средств графики и звука
    Графика всегда была козырной картой систем Mathematica. В новой версии системы также реализованы многочисленные новые возможности. далее…

    Отличительные особенности Mathematica 8

    Отличительные особенности Mathematica 8
    Ускорение численных расчетов и повышение их точности
    Большинство пользователей с трудом уловят разницу между версиями Mathematiea 3 и Mathematica 8. Именно поэтому основной материал данной книги полностью относится к этим двум последним версиям. Тем не менее, различия между версиями есть, и достаточно серьезные.
    Пожалуй, главной отличительной особенностью системы Mathematica 8 стало кардинальное ускорение численных расчетов. Традиционно системы символьной математики проигрывали численным системам, таким как MATLAB. далее…