Warning: include(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include_once(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82

Warning: include_once(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82
Визуализация дифференциальных параметров кривых | Учебники

Главная > Maple 15 > Визуализация дифференциальных параметров кривых


Визуализация дифференциальных параметров кривых

Визуализация дифференциальных параметров кривых
Дифференциальные параметры функции f(x), описывающей некоторую кривую, имеют большое значение для анализа ее особых точек и областей существования. Так, точки с нулевой первой производной задают области, где кривая нарастает (первая производная положительна) или убывает (первая производная отрицательна) с ростом аргументах. Нули второй производной задают точки перегиба кривой.
Следующая графическая процедура служит для визуализации поведения кривой /, = /(.г) на отрезке изменениях от а до b:

В этой процедуре заданы следующие цвета (их можно изменить): Таблица 12.1. Цвета при визуализации в процедуре shape_plot

Изменение /(х)

Цвет

Возрастание

Синий

Убывание

Красный

Площадь

Цвет

Над минимумом

Зеленый

Под максимумом

Коралловый

Например, для функции:

построенный график будет иметь вид, представленный (естественно, в книге цвета — лишь оттенки серого).
Рисунок дает наглядное представление о поведении заданной функции. Рекомендуется опробовать данную процедуру на других функциях. Следует отметить, что, поскольку процедура использует функции ntiroimize и maximize, она может давать сбои при исследовании сложных функций, содержащих специальные математические функции или особенности. Иногда можно избежать такой ситуации, исключив особенность. Например, для анализа функции sin(x)/x можно записать ее в виде:
>f:=x->if x=0 then 1 else sin(x)/x  
end if; 
shape_plot(f(x),-10,10);
Исполнение приведенной выше строки ввода дает график, представленный.
Данная процедура дает хорошие результаты при анализе функций, представленных полиномами. Вы можете сами убедиться в этом.
Иллюстрация итерационного решения уравнения f (х) = х
Классическим методом решения нелинейных уравнений является сведение их к виду х =f(x) и применение метода простых итераций xk =s(xk-1) при заданном значениих0. Приведем пример такого решения:
>f :=x ->3*1n(x+l); 
f:=x-> 3ln(x+1) 
>x||0 := 0.5:
x0:=5 
>x0 := .5;
x0:=.5
>for k from 1 to 16 do x||k := evalf( f(x||(k-l) )): od;
xl := 1.216395324
x2 := 2.387646445
x3 := 3.660406248
x4:= 4.617307866
x5:= 5.177557566
x6:= 5.462768931
 x7:= 5.598173559
x8:= 5.660378631 
x9 := 5.688529002
xl0:= 5.701181910
x11 := 5.706851745
x12 := 5.709388956
x13:= 5.710523646
x14 — 5.711030964
xl5:= 5.711257755
x16:= 5.711359134
Нетрудно заметить, что значения xk в ходе итераций явно сходятся к некоторому значению. Проведем проверку решения, используя встроенную функцию solve:

Результат выглядит необычно — помимо довольно "очевидного корнях x= 0 значение другого корня получено в виде специальной функции Ламберта. Впрочем, нетрудно найти и его численное значение: 
> evalf(%); 
0., 5.711441084
Однако как сделать процесс решения достаточно наглядным? Обычно для этого строят графики двух зависимостей — прямой х и кривой f(x) — и наносят на них ступенчатую линию перемещения точки xk. Специальной функции для графиков подобного рода Maple 15 не имеет. Однако можно составить специальную процедуру для их построения .Ее листинг, заимствованный из примера, описанного в пакете обучения системе Maple 7 — PowerTools, представлен ниже:

Параметрами этой процедуры являются: f1 — функция f(x); а и b — пределы изменениях при построении графика; х0 — значение х, с которого начинаются итерации. Исполнив команду:
>rec_p1ot( f(x), 0, 8, х0):
можно наблюдать график, иллюстрирующий итерационный процесс. Он представлен.
Нетрудно заметить, что для данной функции процесс итераций хотя и не очень быстро, но уверенно сходится к точке пересечения прямой у = х и кривой y=f(x). Вы можете, меняя зависимость f(x), провести исследования сходимости уравнений х = f(x).
Построение сложных фигур в полярной системе координат
Некоторые виды математической графики имеют определенную художественную ценность и фигурируют в символике различных стран и общественных организаций. Остановимся на нескольких таких примерах применительно к графике в полярной системе координат. Представим фигуры, образованные множеством линий на плоскости.
Рисунок демонстрирует одну из таких фигур. Это семейство из 10 кардиоид разного размера. Параметр scallIng=constrained обеспечивает правильное отображение фигур — каждая кардиоида вписывается в огибающую ее невидимую окружность. Размер кардиоид задается значением параметра а.
Еще одно семейство кардиоид, на сей раз шестилепестковых, представлено. Здесь также изменяемым параметром каждой фигуры является ее размер, заданный параметром а.
Фигуре, представленной , трудно дать определенное название. Назовем ее волнообразной спиралью.
По образу и подобию приведенных фигур читатель может опробовать свои силы в создании новых красочных фигур в полярной системе координат. Некоторые из них поразительно напоминают снежинки, картинки в калейдоскопе и изображения морских звезд. Если убрать параметр color=black, .введенный ради черно-белой печати картинок в книге, то можно усилить красочность фигур за счет их разноцветной окраски.

Статьи по теме

Комментарии запрещены.