Warning: include(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 65

Warning: include_once(/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php): failed to open stream: No such file or directory in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82

Warning: include_once(): Failed opening '/var/www/iill7773/data/www/wiselab.ru/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php55/usr/share/pear:/opt/alt/php55/usr/share/php') in /home/u7426dd0/domains/wiselab.ru/public_html/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 82
Вычисление интегралов | Учебники

Главная > Mathematica 8 > Вычисление интегралов


Вычисление интегралов

Вычисление интегралов
 
Вычисление интегралов в символьном виде
Одна из важнейших операций — вычисление первообразных и определенных интегралов в символьном виде. Первообразная — это функция F(x), удовлетворяющая уравнению
f(x)dx = F(x) + C,
где С — постоянная интегрирования. А вычисление определенного интеграла с пределами — верхним b и нижним а — производится по формуле
f(X)dX = F(b)-F(a)
Заметим, что определенный интеграл может быть представлен как аналитическим, так « численным значением. Для вычисления численных значений определенных интегралов разработан ряд приближенных методов — от простых (прямоугольников и трапеций) до сложных, автоматически адаптирующихся к характеру изменения подынтегральной функции f(x).
Для интегрирования в системе Mathematica используются следующие функции:

  • Integrate [f, x] — возвращает первообразную (неопределенный интеграл) подынтегральной функции f по переменной х;
  • Integrate [f, {x, xmin, xmax}] — возвращает значение определенного интеграла с пределами от x min до x max ;
  • Integrate [f, {x, xmin, xmax}, {у, ymin, ymax},…] —возвращает значение кратного интеграла с пределами от x min до x max по переменной х, от y min до y max по переменной у и т. д. (кратность реально не ограничена).

Обычно функция Integrate применяется в простейшей форме, но она имеет три характерные опции:
Options[Integrate]
{Assumptions -> {}, GenerateConditions->Automatic,
PrincipalValue > False)
Для обозначения бесконечных пределов используется константа Infinity. Эта константа означает положительную бесконечность, для задания отрицательной бесконечности она используется со знаком «минус». Пределы могут задаваться как константами, так и функциями.
Особый интерес, естественно, вызывает применение функции Integrate для вычисления заданных пользователем неопределенных интегралов в символьном виде. Это иллюстрируют примеры на вычисление неопределенных интегралов с алгебраическими подынтегральными функциями, представленные на рис. 4.2.
Здесь входная ячейка в первом примере представлена в формате ввода (Input-Form), а в остальных примерах — в стандартном формате (StandardForm). При записи интегралов последний предпочтителен ввиду большей наглядности, поскольку при этом знаки интеграла имеют естественный математический вид. Обратите внимание на проверку операции интегрирования с помощью дифференцирования в двух последних примерах.
На рис. 4.3 показано еще несколько примеров вычисления неопределенных интегралов. Нетрудно заметить, что интегралы от ряда алгебраических функций дают выражения с тригонометрическими функциями.
Другая группа примеров, представленная на рис. 4.4, показывает нахождение интегралов с тригонометрическими и гиперболическими подынтегральными функциями.
Последний пример показывает, что возможно вычисление списка определенных интегралов, если подынтегральные функции представлены также в виде списка.
 
Вычисление определенных интегралов
Следующая серия примеров иллюстрирует вычисление определенных интегралов в символьном виде.
Приведенные на рис. 4.6 примеры показывают вычисление определенных интегралов с пределами-функциями.
Системы Mathematica имеют самые обширные возможности вычисления интегралов. Ядро системы вобрало в себя формулы интегрирования из всех известных справочников и даже древних рукописей.
Вычисление кратных интегралов
Mathematica способна вычислять даже кратные интегралы с фиксированными и переменными верхним или нижним пределами. Кратный, например двойной, интеграл с фиксированными пределами имеет вид:
f(x,y)dxdy
На рис. 4.7 представлено вычисление нескольких двойных определенных интегралов.
Следующий пример при двух форматах ввода показывает вычисление двойного неопределенного интеграла двойным применением функции Integrate:
Integrate!Integrate[x^3+y^3,x],y]
x4y/4+y4x/4
( (x3 + y3) dx) dy
x4y/4+y4x/4
Другая серия примеров показывает, как вычисляются двойные и тройные интегралы, пределы которых сами по себе являются функциями.

Хотя вычисление двойного интеграла предусмотрено в синтаксисе функции Integrate, это не всегда дает результат. Как правило, вычисление кратных интегралов лучше производить, используя последовательное вычисление однократных интегралов, вложенных друг в друга. Это и показывают приведенные примеры.

Статьи по теме

Комментарии запрещены.